Общеизвестные классические представления о векторных полях в трёхмерном пространстве давно вошли в учебники физики, высшей математики и векторного анализа. Эти представления составляют основу многих самостоятельных областей знаний. Однако, если принять во внимание, что «градиент функции при заменах координат преобразуется иначе, чем вектор» (Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов,1986 г. Стр.30 (djvu) http://www.newlibrary.ru/download/dubrovin_b_a___novikov_s_p___fomenko_a_t_/sovremennaja_geometrija_(metody_i_prilozhenija).html ), то неизбежно приходим к выводу, что градиент скалярной функции не образует векторное поле, а безвихревое или так называемое потенциальное векторное поле - лишь некорректное не только в физическом, но и в математическом, отношении предположение.

По поводу актуальности доказательства теорем существования решений дифференциальных уравнений известны авторитетные, но противоположные, позиции, а именно:
1. Математический институт Клея объявил такое доказательство важнейшей проблемой тысячелетия для уравнений Навье – Стокса (MILLENNIUM PRIZE PROBLEM) .
2. Знаменитый физик Л.Д. Ландау по поводу подобных теорем сказал: «я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования». Позиция знаменитого математика М. Клайна (M. Kline), фактически совпадает с позицией Л.Д. Ландау. Можно ли состыковать эти полярные позиции? Вот, что думают по этому поводу
некоторые математики:http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=12373&start=all&postdays=0&postorder=asc&sid=803ba3cdee00151329b49aa955d07944

Сформулированная институтом Клея (Clay Mathematics Institute) шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) о существовании и гладкости решений уравнений Навье–Стокса по признанию некоторых комментаторов настолько сложна, что полное изложение ее решения может потребовать до тысячи страниц для математических формул. Однако оказывается, что уравнения Навье–Стокса можно корректно свести к более простым и хорошо изученным классическим уравнениям математической физики, проблема доказательства существования решений которых уже не актуальна. Подробнее на сайте http://a-kozachok1.narod.ru , ссылка «Шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) разрешима классическими методами».