Функция тета

Итак, мы ищем величину тета, которая:
1) должна определять описание материальных частиц, т.е. входить в де бройлевскую фазовую волну:

2) должна описывать калибровочную, т.е. фазовую инварианость;
3) должна содержать пару канонических переменных «время-пространственные координаты», составляющих 4-вектор, и она не должна иметь смысла для отдельных составляющих этой пары;
4) должна быть физичной, что означает, что она должна содержать величины, измеримые непосредственно и моделируемые в экспериментах..
5) она должна быть безразмерной, чтобы быть инвариантной относительно выбора единиц.
Оказывается, единственной такой величиной является фаза волны:

Она удовлетворяет всем вышеперечисленным требованиям и дает объяснение еще множеству фактов. Перечислим некоторые из них, чтобы мы убедились, что функция тета, действительно определяет наш мир.

Формулы преобразования Лорентца являются справедливыми только для канонических пар физических величин “вектор + скаляр”, но не для каждой величины, отдельно входящей в пару, как это было в механике Ньютона (преобразования Галилея). Минковским была построена механика, целиком опирающаяся на совокупности таких пар величин, которая получила название механики специальной теории относительности (механики СТО). Причем предложено было считать, что природа представляет собой 4-мерный мир.
Вполне правомерен вопрос: почему возможно такое объединение (т.е. выделение канонически сопряженных по Гамильтону переменных)? Или, другими словами, какие физические закономерности строения мира делают возможным такое объединение: координат и времени, энергии и импульса, частоты и волнового вектора, мощности и силы, скалярного и векторного потенциала, нулевых компонент и векторов скорости и ускорения, плотности заряда и плотности тока и т.д.?
Сравнивая 4-х вектора, мы видим, что, несмотря на кажущееся разнообразие, они связаны друг с другом совершенно определенными соотношениями, вне которых это объединение не имеет никакого смысла. Более того, смею утверждать, что все канонически сопряженные по Гамильтону переменные могут быть выражены через функцию тета, иначе они не будут подчиняться преобразованиям Лорентца.

Теперь можно ответить на вопрос, почему преобразования Лорентца определяют, в известном смысле, физику нашего мира? Волна, описывающая материю, должна быть изотропна в пространстве и времени. Т.е. ее направление в пространстве и существование во времени не должны изменять частицу. Но эта изотропность должна касаться одновременно и пространства, и времени именно потому, что фаза волны не может существовать без одной из этих переменных – они должны присутствовать здесь обе вместе. Как хотите заставляйте лететь частицу в пространстве, она одновременно «живет» во времени. Вот эта изотропность и дает преобразования Лорентца.

Итак, как мы видим, именно благодаря тому, что канонические пары физических величин входят одновременно в фазу волны, они могут быть объединены в 4-мерный комплекс, ибо фаза волны не может существовать без какого-либо из своих компонентов. Но означает ли это, что эти пары величин образуют новую физическую сущность?

Очевидно, оснований для такого утверждения нет. То же самое мы имеем в классической теории любых волн (звуковых волн сжатия, волн кручения в металле, и т.д.), но потребности в 4-объединении там не возникала.
Нетрудно проверить, что физика в четырехмерном виде не дает никаких новых результатов по сравнению с физикой, использующей разделенное понимание этих величин, ибо они всегда измеряются независимо друг от друга (именно это и говорит Фейнман в приведенном в начале этой ветки отрывке). Единственно, что подтверждает 4-х мерный подход - это то, что материальный мир построен из волн.

Чтобы не быть голословным, приведу примеры того, что функция тета дает возможность описания не только различные параметры частиц, но и может служить основой построения теории.

Величины:

где величина является действием по Гамильтону для движения свободной частицы в релятивистской динамике, а значит инвариантность фазы действительно соответствует инвариантности Лагранжиана и действия относительно фазовых преобразований.

Для обычной электромагнитной волны, когда m=0, имеем:

Это же уравнение описывает распространение фронта плоской EM-волны. Интересно, что Фок из него и постулата о постоянстве скорости света находит преобразования Лорентца и доказывает инвариантность интервала. Можно пойти обратным путем и из инвариантности интервала вывести закон сохранения. И т.д., и т.п.