В чем же несимметричность?

Здесь недавно было похожее обсуждение.

Несимметричность заключается в определении того, что такое замкнутая вселенная. Рассмотрим 1+1-мерное пространство-время. Замкнутая вселенная означает, что мы в некотром смысле свернули пространственную координату. Сворачивание координаты означает, по определению, отождествление двух точек с разными (изначально) пространственными координатами, но с одинаковыми временами.

Из определение видно, что такая ситуация будет наблюдаться только в одной, избранной системе отсчета. Это и есть та СО, в которой вы свернули пространство. В другой СО будет сворачиваться уже пространство-время, причем вкось -- т.е. отождествляться будут точки с разными координатами и разными временами.

Это и есть источник несимметричности двух СО в замкнутой вселенной (по крайней мере в 1+1-измерении).

Очень люблю и уважаю людей, которые по образованию математики (и не люблю и не уважаю тех, кто заявляют, что они математики, а на поверку выходит не так).

СТО и ОТО - вовсе не священные коровы. Это всего лишь модели, матмодели определённых классов физических явлений. Достаточно простые, чтобы их могли понимать физики :-) и достаточно эффективные, чтобы ни один эксперимент с самой лучшей достижимой точностью не мог найти отклонения от этих моделей.

СТО опирается на представление пространства-времени как псевдоевклидова пространства (1,3) (пространство Минковского, часто обозначается M^4), и на то, что все физические явления зависят от того, как события происходят с точки зрения псевдоевклидовой геометрии, и не зависят от введённых в этом пространстве систем координат. В силу этого все физические теории подпадают под требование выражаться через геометрические величины: тензоры разных рангов и тензорные поля (функции от точки пространства-времени). "Парадокс близнецов" СТО - это просто неравенство треугольника в псевдоевклидовой метрике.

ОТО - это, соответственно, представление пространства-времени как псевдориманова, с теми же свойствами. Кроме того, тензор внутренней кривизны не задаётся произвольно, а тоже считается физическим полем, и связывается с суммарной плотностью энергии в точке (которую можно определить для любых локальных физических объектов и полей). В результате пространства ОТО могут обладать меньшими симметриями, чем пространство СТО.

> Итак, Вы пишете, что ситуация несимметрична из-за того, что космонавт совершил виток во Вселенной. Но пусть, в таком случае, первый брат находится на Земле-космическом корабле, что в некоторой степени соответствует действительности. Тогда полный оборот складывается из их траекторий. В чем же несимметричность?

Пусть Вселенная имеет форму R^3xS^1 с метрикой (1,3). Тогда неподвижный (земной) близнец сдвинулся на вектор (T,0,0,0), а космонавт - на (T,0,0,2\pi). Длины их мировых линий (которым в соответствие ставится собственное время полёта) не равны, и никакая смена системы координат не сможет изменить этого. Например, в ортонормальных собственных координатах космонавта его сдвиг будет иметь вид (\sqrt(T^2-(2\pi)^2),0,0,0), но сдвиг землянина - (T^2/\sqrt(T^2-(2\pi)^2),0,0,-2\piT/\sqrt(T^2-(2\pi)^2)), и нормы векторов сдвига по-прежнему относятся как "землянин > космонавта".

> Вы пишете, что в СТО и в ОТО предполагается, по крайней мере локальная, нулевая кривизна.

Нет, я не то имел в виду! Речь шла всего лишь о локальной гладкости, а не о нулевой кривизне. В физике очень часто используется расчёт в разложении по малым величинам, и пренебрежение высшими членами в случаях, когда они малы и не влияют на экспериментально наблюдаемые явления, и поэтому принято считать, что эффекты, связанные с кривизной, являются эффектами второго порядка малости по дифференциалу координат (потому что всё, на что они умножаются, конечно), и потому ими можно пренебречь в первом приближении - которое и называется "локальным" в смысле ОТО.

> Так почему же, например, мы не можем жить на поверхности четырехмерной сферы? Хотя это, по-видимому, не соответствует действительности, но, по-моему, и в такой Вселенной ОТО бы работала.

Пространства всюду положительной кривизны рассматриваются в ОТО, но сферы среди них нет. Ведь ОТО описывает пространство-время для физических явлений, в которых выполняется и закон сохранения энергии (по крайней мере в виде закона сохранения материи для идеального газа и пыли). Так что кривизна может быть постоянной в пространстве, но не во времени. Так называемые замкнутые космологические модели рассматривают Вселенную как трёхмерную сферу, закон изменения которой во времени получается более сложным образом. Наиболее известны среди них модели Фридмана и Де Ситтера.