« Аксиальный вектор или псевдовектор — величина, преобразующаяся как вектор при операциях поворота, но, в отличие от вектора, не меняющая свой знак при инверсии (обращении знака) координат. Простейшим примером аксиального вектора в трёхмерном пространстве является векторное произведение, например, в механике — момент импульса , в четырёхмерном пространстве — аксиальный ток.

Основные сведения
Координаты аксиального вектора получают при преобразованиях координат дополнительный множитель (-1) по сравнению с преобразованием координат истинных (иначе называемых полярными) векторов, если базис меняет ориентацию (например, зеркальное отражение). Это, наряду с псевдоскаляром, частный случай псевдотензора. Графически изображенный псевдовектор при таком изменении координат меняет направление на противоположное.
В геометрии наиболее употребительным применением псевдовектора может быть представление с его помощью трехмерного бесконечно малого поворота. Вероятно(?), термин аксиальный вектор происходит именно отсюда, так как псевдовектор определяет ось поворота (ее направление), но только с точностью до множителя (±1), с направлением же вращения связан условным произвольным выбором правого базиса, в отличие от истинного (полярного) вектора, представляющего направленный отрезок (или параллельный перенос) вполне определенно и однозначно заданного точками начала и конца.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/45903 »

Симметрии, частный случай — зеркальная симметрия.

Симметрии:
1. Одномерный случай:
симметрия оси x относительно точки (нульмерный объект) x°x`, инверсия знака оси x: x`= - x.

2. Двумерный случай:
2.1 симметрия относительно линии, параллельной оси y, (одномерный объект) y | y`,
инверсия знака оси x: x`= - x, инверсии знака оси y нет: y`= y.

2.2 симметрия относительно относительно точки (нульмерный объект) x°x`, y°y`,
инверсия знака осей x и y: x`= - x, y`= - y.

3. Трехмерный случай:
3.1 симметрия относительно плоскости, параллельной осям x и y, (двумерный объект) x□x`, y□y`,
инверсия знака оси z: z`= - z, инверсии знака осей x и y нет: x`=x, y`= y.

3.2 симметрия относительно линии, параллельной оси y, (одномерный объект) y | y`, инверсия знака осей x и z: x`= - x, z`= - z, инверсии знака оси y нет y`= y.
3.3 симметрия относительно относительно точки (нульмерный объект) x°x`, y°y`,z°z` инверсия знака осей x,
y и z: x`= - x, y`= - y, z`= - z.

Условимся, что в исходном мире (пространстве, связанной с исходной системой отсчета) существует т.з. наблюдателя на исходный мир (исходное пространство) и на симметричный мир (симметричное пространство, связанное с исходным через симметричное отображение относительно какого-либо объекта (точка- центр симметрии-нульмерный объект, линия-ось симметрии-одномерный объект, плоскость-плоскость симметрии-двумерный объект)) такая, что:
положительное направление оси x указано слева-направо - правая система координат (правая с.к.), если положительное направление оси x` противоположно направлению оси x (смена знака относительно направления оси x) справа-налево – левая система координат,

положительное направление оси y указано снизу-вверх и перпендикулярно оси x,( направленной слева-направо) (правая с.к.),

положительное направление оси y` указано сверху-вниз и перпендикулярно оси x` (направленной слева-направо), либо
положительное направление оси y` указано снизу-вверх и перпендикулярно оси x` (направленной справа-налево) (левая с.к.),

положительное направление оси z перпендикулярно осям x (направленной слева-направо) и y (направленной снизу-вверх) и указано на наблюдателя таким образом, что образует правую систему координат.

положительное направление оси z` перпендикулярно осям x` (направленной слева-направо) и y` (направленной снизу-вверх) и указано от наблюдателя таким образом, что образует левую систему координат.

В одномерном случае симметрия относительно нульмерного объекта (точки), приводит в смене знака оси с т.з. наблюдателя из исходного пространства (пространства, связанного с исходной системой отсчета наблюдателя) на симметричное пространство (пространство, связанное с исходным пространством через отображение посредством симметрии относительно нульмерного объекта)

В двумерном случае симметрия относительно одномерного объекта (линии), параллельной, например, оси y, приводит к смене знака оси x и сохранению занака оcи y. Происходит смена знака системы прямоугольных координат с т.з. наблюдателя из исходного пространства на симметричное пространство — правая с.к. преобразуется в левую.


В двумерном случае симметрия относительно нульмерного объекта (точки), приводит в смене знака осей x и y с т.з. наблюдателя из исходного мира на симметричный мир. Происходит двойная смена знака системы прямоугольных координат с т.з. наблюдателя из исходного пространства на симметричное пространство — правая с.к. преобразуется через левую обратно в правую (т.е. если мы так сориентируем ось y`, что она будет указывать снизу-вверх, то ось x`будет указывать слева-направо — получаем правую систему координат).

В трехмерном случае симметрия относительно двухмерного объекта (плоскости симметрии) параллельного, например, осям x и y (т.н. зеркальная симметрия), приводит к сохранению знаков осей x и y и смене знака оси z с т.з. наблюдателя из исходного пространства на симметричное пространство — правая с.к. преобразуется в левую.

Примечание к зеркальной симметрии:
Подход №1: соответственно с т.з. наблюдателя наряду с инверсией системы координат (была правая — стала левая) логично предположить и инверсию законов векторного умножения векторов. Так в исходном пространстве принято определять векторное умножение векторов через правую тройку, правый винт, то с т.з. наблюдателя из нашего пространства, в симметричном мире будет наблюдаться вместо правого винта — левый винт, и векторное умножение векторов будет определяться через левую тройку, псевдовектор (аксиальный вектор) как результат векторного умножения будет ориентирован в симметричном пространстве аналогично истинному (полярному) вектору. Т.е. если в нашем пространстве псевдовектор ориентирован слева-направо с т.з. наблюдателя, то и в симметричном пространстве он будет ориентирован слева-направо. Далее, если в нашем пространстве истинный вектор будет направлен от нас к плоскости симметрии, то в симметричном пространстве он будет направлен также в сторону плоскости симметии, но, с нашей точки зрения, уже к нам. При такой инверсии правил векторного умножения векторов поведение псевдовектора в нашем пространстве и в пространстве, симметричном нашему, будет вести себя аналогично истинному вектору.

Подход №2: Если же при такого рода симметрии (зеркальной) в пространстве, симметричном нашему, принимать инверсию системы координат (правая - левая) и игнорировать инверсию определения векторного умножения векторов, то встает необходимость изменения поведения псевдовектора в симметричном пространстве. Т.е. искуственно распространяя правила векторного умножения векторов нашего пространства на симметричное пространство, встает необходимость в инверсии поведения в симметричном пространстве псевдовектора к истинному вектору. Если в нашем пространстве истинный вектор и псевдовектор направлены ,например, слева-направо, то в зеркально-симметричном пространстве истинный вектор также будет направлен слева-направо, а псевдовектор справа-налево. Далее, если в нашем пространстве истинный вектор будет направлен от нас к плоскости симметрии, то в симметричном пространстве псевдовектор в таком случае будет направлен от нас и, соответственно, от плоскости симметрии. Налицо инверсия поведения псевдовектора относительно поведения истинного вектора в симметричном пространстве.

Эти оба подхода равноправны, поскольку в дальнейшем при осуществлении векторного произведения векторов в симметричном пространстве, где псевдовектор умножается на истинный вектор и в результате получается идентичный (по модулю и направлению) для обоих подходов истинный вектор (не зависящий от правил и условностей векторного умножения).

Однако первый подход имеет более фундаментальную трактовку.

В трехмерном случае симметрия относительно одномерного объекта (линии), параллельной, например, оси y, приводит к смене знака оси x и z и сохранению занака оcи y. Происходит двойная смена знака системы прямоугольных координат с т.з. наблюдателя из исходного мира на симметричный мир — правая с.к. преобразуется через левую обратно в правую. Соответственно сохраняется правило правой тройки для векторного умножения векторов.

Примечание: Данный вид симметрии трехмерного пространства можно представить как инверсию знака времени — симметрию относительно одномерного объекта — оси времени, где сохраняется правая с.к. и сохраняется правило правой тройки для векторного умножения векторов.
Аналогия: правый винт который движется в нашем мире, допустим, слева-направо с какой-то поступательной скоростью vp и имеет правое вращение (направления истинного вектора поступательной скорости vp и псевдовектора угловой скорости omega совпадают, истинный вектор касательной скорости vtau = omega x r, (r-радиус-вектор, соединяющий любую точку на оси вращения винта с любой точной на поверхности вращения винта) и направлен против часовой стрелки, если смотреть с той стороны, куда указывает направление вектора omega). В симметричном пространстве с инверсией знака времени истинный вектор поступательной скорости обращается vp`= - vp и винт двигается относительно наблюдателя из нашего пространства уже справа-налево. Так же обращается и истинный вектор касательной скорости vτ.
Направление вращения винта вдоль вектора инвертированной поступательной скорости vp` сохраняется и остается правым (направления истинного вектора инвертированной поступательной скорости vp` и псевдовектора инвертированной угловой скорости omega совпадают (соблюдается аналогия поведения истинного вектора и псевдовектора в симметричном пространстве), истинный вектор касательной скорости v`tau = omega x r, направлен против часовой стрелки, если смотреть с той стороны, куда указывает направление вектора omega) - сохраняется правая с.к., сохраняется правило правой тройки для векторного умножения векторов.
Еще более простая аналогия: в прямом времени вы закручиваете болт с правой резьбой. В инвертированном времени операция закручивания этого болта соответствует операции его выкручивания в прямом времени. Таким образом в прямом (нашем) времени закручиваем мы этот болт или выкручиваем — от этого факта направление резьбы не меняется и она как была, так и остается правой.

В трехмерном случае симметрия относительно нульмерного объекта (точки), приводит в смене знака осей x, y и z с т.з. наблюдателя из исходного пространства на симметричное пространство. Происходит тройная смена знака системы прямоугольных координат с т.з. наблюдателя из исходного пространства на симметричное пространство — правая с.к. преобразуется через левую обратно в правую и далее в левую.

Здесь начинает наглядно прослеживаться следующее правило: если размерность симметрично отображаемого пространства больше размерности объекта, являющегося центром/осью/плоскостью (и т.д.) симметрии на целое нечетное число, то система координат и закон векторного умножения векторов в симметричном пространстве с т.з. наблюдателя инвертируются. Если размерность отображаемого пространства больше размерности объекта, являющегося центром/осью/плоскостью (и т.д.) симметрии на целое четное число, то система координат и закон векторного умножения векторов в симметричном пространстве с т.з. наблюдателя сохраняются. При этом соблюдается аналогия поведения истинного вектора и псевдовектора в симметричном пространстве.

Если продолжить аналогию на размерность более трех, например четырехмерное пространство, то при центральной симметрии (относительно нульмерного объекта - центра симметрии) и зеркальной симметрии (относительно двухмерного объекта - плоскости симметрии) система координат и закон векторного умножения векторов в симметричном пространстве с т.з. наблюдателя сохраняются. А при осевой симметрии (относительно одномерного объекта — оси симметрии) и симметрии относительно трехмерного объекта (например, трехмерного евклидова пространства) система координат и закон векторного умножения векторов в симметричном пространстве с т.з. наблюдателя инвертируются. При этом соблюдается аналогия поведения истинного вектора и псевдовектора в симметричном четырехмерном пространстве.

Рассмотрим случай комбинированной симметрии:
3-мерный случай:
1-я симметрия относительно 2-мерного объекта (плоскость симметрии) — правая с.к. преобразуется в левую, правило векторного произведения векторов преобразуется из правой тройки в левую (для обеспечения инвариантности поведения псевдовектора относительно истинного вектора при выполнении симметричного отображения) (в физике зеркальная симметрия заряженной частицы приводит к ее античастице.) и далее:
2-я симметрия 1-й симметрии относительно одномерного объекта (ось симметрии) — левая с.к. преобразуется через правую обратно в левую, правило векторного произведения векторов аналогично преобразуется из левой тройки через правую также в левую.

В случае, если 2-я симметрия будет также относительно 2-мерного объекта (плоскость симметрии) — левая с.к. преобразуется в правую, правило векторного произведения векторов преобразуется из левой тройки в правую — наблюдаем случай параллельного переноса.

Отсюда можно сделать вывод, что:
1. В случае комбинированной симметрии пространства с нечетной размерностью присутствие нечетного количества n-мерных объектов с четной размерностью, относительно которых выполняется операция симметрии, приводит к инверсии системы координат и инверсии правила векторного произведения векторов (для обеспечения инвариантности поведения псевдовектора относительно истинного вектора при выполнении симметричного отображения).
2. В случае комбинированной симметрии пространства с четной размерностью присутствие нечетного количества n-мерных объектов с нечетной размерностью, относительно которых выполняется операция симметрии, также приводит к инверсии системы координат и инверсии правила векторного произведения векторов.
3. В случае комбинированной симметрии пространства с нечетной размерностью присутствие четного количества n-мерных объектов с четной размерностью, относительно которых выполняется операция симметрии, приводит к отсутствию инверсии системы координат и правила векторного умножения.
4. В случае комбинированной симметрии пространства с четной размерностью присутствие четного количества n-мерных объектов с нечетной размерностью, относительно которых выполняется операция симметрии, также приводит к отсутствию инверсии системы координат и правила векторного умножения.

Вектор симметрии:
рассмотрим некий вектор a с координатами (xa, ya, za), базис единичных векторов i, j, k в правой системе прямоугольных координат x, y, z.

1. Одномерный случай:
симметрия оси x относительно точки (0-мерный объект) x°x`, инверсия знака оси x: x`= - x.
В данном случае вектор симметрии задающий симметричное отображение вектора a (xa) на a`(xa`) через 0-мерный объект (центр симметрии) задается как (-i,0,0) так, что xa` = - xa

2. Двумерный случай:
2.1 симметрия относительно линии, параллельной оси y, (1-мерный объект) y | y`,
инверсия знака оси x: x`= - x, инверсии знака оси y нет: y`= y.
В данном случае вектор симметрии задающий симметричное отображение вектора a (xa,ya) на a`(xa`, ya`) через 1-мерный объект (ось симметрии) задается как (-i,j,0) так, что xa` = - xa , ya` = ya.
2.2 симметрия относительно относительно точки (0-мерный объект) x°x`, y°y`,
инверсия знака осей x и y: x`= - x, y`= - y.
В данном случае вектор симметрии задающий симметричное отображение вектора a (xa,ya) на a`(xa`, ya`) через 0-мерный объект (центр симметрии) задается как (-i,-j,0) так, что xa` = - xa , ya` = -ya.

3. Трехмерный случай:
3.1 симметрия относительно плоскости, параллельной осям x и y, (2-мерный объект) x ; x`, y ; y`,
инверсия знака оси z: z`= - z, инверсии знака осей x и y нет: x`=x, y`= y.
В данном случае вектор симметрии задающий симметричное отображение вектора a (xa,ya,za) на a`(xa`, ya`,za`) через 2-мерный объект (плоскость симметрии) задается как (i,j,-k) так, что xa` = xa , ya` = ya, za` = - za.
3.2 симметрия относительно линии, параллельной оси y, (1-мерный объект) y | y`, инверсия знака осей x и z: x`= - x, z`= - z, инверсии знака оси y нет y`= y.
В данном случае вектор симметрии задающий симметричное отображение вектора a (xa,ya,za) на a`(xa`, ya`,za`) через 1-мерный объект (ось симметрии) задается как (-i,j,-k) так, что xa` = -xa , ya` = ya, za` = - za.
3.3 симметрия относительно относительно точки (0-мерный объект) x°x`, y°y`,z°z` инверсия знака осей x, y и z:
x`= - x, y`= - y, z`= - z.
В данном случае вектор симметрии задающий симметричное отображение вектора a (xa,ya,za) на a`(xa`, ya`,za`) через 0-мерный объект ( центр симметрии) задается как (-i,-j,-k) так, что xa` = -xa , ya` = -ya, za` = - za.

Например координаты вектора a при симметрии относительно 2-мерного объекта (плоскости симметрии — зеркальная симметрия) умножаются на вектор- столбец соответствующего вида симметрии и получается симметричный вектор a`:
a (xa, ya, za) * i = xa*i + ya*j+za*(- k) = a`
j
-k
a = xa*i + ya*j + za*k, → (зеркальная симметрия x;x`, y;y` ; (i,j,-k)): xa*i + ya*j+za*(- k) = a`

Матричная форма представления векторного умножения векторов, смешанного умножения векторов, дифференциал векторного умножения векторов.

http://fxdx.ru/page/proizvedenija-vektorov-v-koordinatnoj-forme#cut

Векторное и смешанное произведение векторов в координатной форме и их симметричное отображение:
Зададим вектора: a (xa, ya, za), b (xb, yb, zb), c (xc, yc, zc), соответственно симметричные им вектора будут:
a` (xa`, ya`, za`), b` (xb`, yb`, zb`), c (xc`, yc`, zc`).

Форма записи векторного произведения векторов в координатной форме в исходном пространстве:
│ i j k│
a x b = │ xa ya za │ = │ya za│* i - │ xa za │* j + │ xa ya│* k = │ya za│* i + │ xb zb │* j + │ xa ya│* k
│ xb yb zb │ │yb zb │ │ xb zb │ │ xb yb│ │yb zb │ │ xa za │ │ xb yb│


Получаются координаты результирующего вектора в векторном произведении векторов:
│ya za│ │ xb zb │ │ xa ya│
│yb zb │ │ xa za │ │ xb yb│
Для того, чтобы определить симметричный вектор, являющийся результатом векторного произведения
a` x b`, полученные координаты умножаем на вектор-столбец соответствующего вида симметрии, например зеркальной, транспонированной формы (i, j, -k):
│ya za│ │ xb zb │ │ xa ya│ │ya za│ │ xb zb │ │ xa ya│
│yb zb │ │ xa za │ │ xb yb│ * i = │yb zb │* i +│ xa za │* j +│ xb yb│*(- k) = a` x b`,
j
-k
(Примечание: применяется подход №1 см. выше)

В случае комбинированной симметрии определим координаты промежуточного результата (см. выше):
│ya za│ │ xb zb │ │ xa ya│ │ya za│ │ xb zb │ │ xb yb│
│yb zb │* i +│ xa za │* j +│ xb yb│*(- k) = │yb zb │* i +│ xa za │* j +│ xa ya│* k

как: │ya za││ xb zb ││ xb yb│
│yb zb││ xa za ││ xa ya│
полученные координаты умножаем на вектор-столбец соответствующего вида симметрии, например осевой (ось симметрии

параллельна оси y), транспонированной формы (-i, j, -k):
│ya za│ │ xb zb │ │ xb yb│ │yb zb│ │ xb zb │ │ xa ya│
│yb zb │* (-i) +│ xa za │* j +│ xa ya│* (-k) = │ ya za│* i +│ xa za │* j +│ xb yb│* k




Соответственно координаты результата комбинированной симметрии векторного произведения:
│yb zb│ │ xb zb │ │ xa ya│
│ ya za│ │ xa za │ │ xb yb│


Смешанное произведение векторов в координатной форме:
│xa ya za │
a ∙ b ∙ с = a ∙ (b x с) = │xb yb zb│= xa*│yb zb │- ya*│xb zb│+ za*│xb yb│
│xc yc zc │ │yc zc│ │xc zc │ │xc yc│

a ∙ (b x с) = (xa*i+ya*j+za*k)∙(│yb zb │*i - │xb zb│*j+ │xb yb│*k) = (xa*i+ya*j+za*k)∙(│yb zb │*i +│xc zc │*j+ │xb yb│*k)
(│yc zc│ │xc zc │ │xc yc│ ) (│yc zc│ │xb zb│ │xc yc│

)

Получаются координаты первого множителя в скалярном произведении xa ya za и второго множителя в скалярном

произведении - результирующего вектора в векторном произведении векторов:
│yb zb │ │xc zc │ │xb yb│
│yc zc│ │xb zb│ │xc yc│


Для того, чтобы определить симметричный вектор, являющийся результатом смешанного произведения векторов
a` ∙ (b`x c`) , полученные координаты обоих векторов умножаем на вектор-столбец соответствующего вида симметрии,

например зеркальной, транспонированной формы (i, j, -k):
(xa*i+ya*j+za*(-k))∙(│yb zb │*i +│xc zc │*j+ │xb yb│*(-k)) = a` ∙ (b`x c`) = │xa` ya` za`│
(│yc zc│ │xb zb│ │xc yc│ ) │xb` yb` zb`│
│xc` yc` zc`│
Получаем координаты вектора, симметричного первому множителю xa ya -za и координаты вектора, симметричного

второму множителю в скалярном произведении векторов
│yb zb │ │xc zc │ │xc yc│
│yc zc│ │xb zb│ │xb yb│

В случае комбинированной симметрии полученные координаты умножаем на вектор-столбец соответствующего вида 2-й

симметрии, например осевой (ось симметрии параллельна оси y), транспонированной формы (-i, j, -k):
(xa*(-i)+ya*j+(-za)*(-k))∙(│yb zb │*(-i) +│xc zc │*j+ │xc yc│*(-k))
(│yc zc│ │xb zb│ │xb yb│ )

Координаты результата комбинированной симметрии: получаем координаты вектора, комбинированно симметричного

первому множителю: -xa ya za и координаты вектора, комбинированно симметричного второму множителю в скалярном произведении векторов:
│yc zc│ │xc zc │ │xb yb│
│yb zb│ │xb zb│ │xc yc│