Произволен ли выбор аксиом в теории относительности и возможна ли теория околосветовых явлений при другом выборе исходных принципов, чем в СТО?
>Формально они действительно почти одинаковы, но алгебраическая структура неодинакова. Комплексные числа со всеми их структурами все-таки вне конкуренции.
Ну вот, и Вы туда же :) Вы можете конкретно перечислить те пункты, на основании которых комплексные числа "вне конкуренции" с двойными? Параллельно я бы просил при таком перечислении сравнивать отражение соответствующих структур на геометриях евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей. Вопрос этот только на первый взгляд кажется незначительным, на самом деле, он практически ключевой, поэтому просьба не отмахиваться от него..
>Про телесный угол и его аддитивность я так и понял, а где прочитать про «веерообразные поверхности»? Никогда не думал, что заинтересуюсь финслеровой геометрией...
Боюсь, все же, что про "телесный угол" (мы ему загодя, даже толком не разобравшись со всеми свойствами, дабы подчеркнуть такую же фундаментальность, что имеется у длин и углов в квадратичных геометриях, придумали собственное имя - трингл) Вы практически наверняка не все поняли. Он хоть и похож на телесный угол, но последний, все же, не является самостоятельной характеристикой и выражается через длины и углы, а "наш" трингл является совершенно таким же базовым понятием финслеровой геометрии с кубической метрической формой, как длина или угол в квадратичной, причем через последние не выражается, примерно также, как обычный угол между парой векторов не выражается через их длины. Однако это совершенно отдельная тема и, учитывая, ее слабую проработку нами лучше в нее до поры до времени не углубляться.
Про "веерообразные" 2-поверхности, которые играют в некоторых финслеровых пространствах ту же роль, что и плоскости в квадратичных пространствах также как и про тринглы нигде пока почитать нельзя. Это хоть и более простой геометрический объект, чем трингл и его дальнейшие обобщения на полиуглы, времени и случая его описать пока просто не предоставлялось. В двух словах, это 2-поверхность, получаемая при непрерывном ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ вращении (понимаемом как линейное изометрическое преобразование) при переходе от одного единичного вектора к другому, опирающихся на одну и туже точку. Естественно, что такие "веера" есть только в пространствах, где при помощи изометрического вращения можно переходить от любого вектора некоторого множества к любому другому другому из этого же множества. В пространствах Бервальда-Моора такие вращения есть и с ними как правило связаны не плоскости, как в любом квадратичном пространстве, а эти самые "веера"..
Проще всего такой "веер" представить себе, если рассмотреть, например, в Н4 экспоненциальную форму представления числа, соответствующего некоторому вектору. Эта форма в общем случае имеет вид:
H=R*exp(i*a+j*b+k*c),
где R - модуль числа (финслеровская длина, соответствующего ему вектора), а, b, c - его аргументы (финслеровские углы между вектором и базисными векторами, соответствующими мнимым единицам i, j, k).
Зафиксируйте три параметра, например, R, а, b и меняйте непрерывным образом с от с0 до с1. Тогда исходный вектор связанный с формой представления
H0=R*exp(i*a+j*b+k*c0) очертит некую 2-поверхность, вплоть до совпадения с вектором, имеющим форму представления:
H1=R*exp(i*a+j*b+k*c1). Это и получится часть "веера" натянутого вместо плоскости на пару векторов Н0 и H1.
"Веер", как и плоскость может выходить за рассматриваемую пару векторов, для этого нужно рассмотреть изменения параметра "с" от минус бесконечности до плюс бесконечности. Более того, учитывая, что пространство у нас простирается и за пределы светового конуса, продолжение "веера" можно построить и там (примерно также как и плоскость, натягиваемая на два вектора пространства Минковского, строится за пределами внутренности светового конуса). В пространствах Бервальда-Моора такими "веерами" можно соединить любую пару неизотропных векторов (на счет изотропных просто не думал). Извиняюсь за многословность, но хотелось быть понятым максимально точно.
>Да, я именно Гильбертовский подход имел в виду. A что именно вы имеете в виду под «заменяются аксиомы связанные с понятием угла и треугольника»? Где про это написанно более детально? Я тоже интересуюсь аксиоматической геометрией и топологией, несколько в ином ключе правда, но подобного рода вопросы меня очень интересуют.
В частности, понятие угла c меры фигуры связанной с натягиваемой на пару векторов плоскостью заменяется на меру фигуры связанной с натягиваемым на них "веером", о котором шла речь чуть выше. А треугольник при этом из объекта, состоящего из трех отрезков превращается в фигуру из двух отрезков и одной кривой, лежащей внутри того же "веера". Во-всяком случае, мне так эта проблема видится. Одним из следствий такой метаморфозы оказывается изменение числа величин, характеризующих конгруэнтность двух треугольников. Если в евклидовой или псевдоевклидовой геометрии миниамльное число параметров характеризующих конгруэнтность двух треугольников три, то, например, в геометрии с кубической метрической формой их уже четыре. К сожалению, ни я ни кто из моих коллег специально этой проблемой не занимался и я не могу дать соответствующей ссылки :(
>Насчет «понятий линейного пространства» мне пока не совсем ясно. Надо или прочитать или самому покопаться.
Извиняюсь, я неточно выразился. Имелись ввиду аксиомы линейного пространства. То есть, если к системе аксиом такого пространства добавить аксиомы скалярного произведения или полипроизведения у нас и осуществляется переход от пространства без метрики к финслерову ЛИНЕЙНОМУ пространству с той или иной метрической функцией.
>Еще кстати вопрос: эти скалярные полипроизведения – это ваше изобретение или нечто что было известно ранее?
Ни мне, ни одному из моих коллег не приходилось сталкиваться с аналогичным изобретением у других геометров. Если таких действительно нет, значит, этот результат непосредственно мой. Хотя идея настолько проста и естественна, что я не удивлюсь, если лет двести назад ее кто-то уже высказывал и даже с такой штукой работал. Казус состоит в том, что современные финслеристы вне нашей узкой группы эту конструкцию нигде не использует, что, полагаю, сильно усложняет всем им жизнь.. Еще один казус состоит в том, что "на ура" принимая идею полискалярного произведения и ничего против него не имея, многие геометры все равно его не используют и предпочитают продолжать работать в рамках старого формализма, связанного с уже упоминавшимся двухиндексным финслеровым метрическим тензоров, зависящим не только от точки, но и от направления. И это при том, что многие из "сторонних" финслеристов познакомились и приняли идею скалярного полипроизведения уже не один год назад..
>Какую линейность вы имеете в виду когда пишете «ее как и те, можно строить не на базе понятий линейного пространства и скаларного произведения»?
Самую обычную. То есть, мы начинаем рассмотрение не с "кривых" финслеровых пространств, а с "плоских", которые, как мне кажется, более правильно именовать именно линейными, хотя бы потому, что в этом простейшем случае они максимально похожи на плоские римановы и псевдоримановы пространства, типа евклидовых и псевдоевклидовых.
>Мне кажется что это довольно непростой круг вопросов, начиная с линейности и скалярного произведения, мне надо для начала почитать что нибудь по финслеровой геометрии, упорядочить понимание. Это богатая тема про линейные/нелинейные «касательные» структуры, полилинейные скалярные произведения и т.д.
Мне кажется, Вам пока как раз не стоит особенно интересоваться, что написано по финслеровой геометрии. Дело в том, что теория разрабатываемая вне нашей группы уведет Вас куда угодно только не к цели, а наши наработки еще достаточно сыры и также иногда могут оказаться уводящими в сторону. Наверное, лучше всего повозиться хоть немного самому, пока не сформируется собственная шкала ценностей и приоритетов, впрочем, я готов немного погодя выслать Вам практически готовую книгу Гарасько "Основания финслеровой геометрии для физиков", которую он на днях закончил в первом приближении. При этом заранее хочу предупредить, что при всем уважении к Григорию Ивановичу и его результатам мне видится целая куча моментов, где можно и нужно было бы сделать не просто лучше, а принципиально по иному.. Беда в том, что я не физик и даже не математик и самому мне ничего подобного не написать :(
>У меня опыт маленький, реально состоящий в этой вот переписке, но мне всегда казалось что в форумах обычно сидит довольно нервная публика. Нужно попытаться выйти на людей, которые сидят не в форумах, а в обсерваториях, они вполне могут поделиться данными. На всякий случай: ecclesiastes35@hotmail.com
На счет нервности публики - Вы абсолютно правы. Но лично мне, через форумное общение, как раз, сподручнее работать. Кстати, в этой связи: Вы не будете против, если я наш диалог переразмещу в качестве головной темы этого или другого форума? Вдруг, кого-то еще заинтересуют обсуждаемые нами проблемы? Ведь в глубине, где мы с Вами сейчас находимся, на них можно наткнуться разве что случайно, а мне хотелось бы не упускть ни одного человека, способного в данном направлении сделать что ни будь толковое..
На обсерватории мы обязательно будем выходить.
Моя почта: geom2004@mail.ru
>Вы говорите о «финслеровой метрике» так как будто она единственная, типа “the Finslerian metric”. А ведь a-priori их может быть много.
Финслеровских метрик, действительно, даже в четырехмерии бесконечное множество. Однако полагаю, естественным образом совместимых с псевдоримановой (хотя и гипотетически) - не так уж и много. Мне известно лишь две: обсуждаемая Бервальд-Мооровская и еще кубическая, связанная с симметрическим многочленам от четырех переменных третьей степни, на которую наше внимание обратил B.М.Чернов. Однако, метрика Чернова на мой взгляд, сильно уступает метрике Бервальда-Моора (как, полагаю, и практически все иные финслеровы метрики), что и выражается иногда в моих предпочтениях..
Помимо связи с метрикой Минковского, метрика Бервальда-Моора (и в этом ее гигантское преимущество перед любыми другими) обладает уже на конформном уровне бесконечной группой непрерывных симметрий. и хоть мы еще толком не знаем более хитрых симметрий, я a-priori уверен в ее преимуществах и в данном отношении. Хоть за это говорит лишь одна моя интуиция, я не могу от нее отмахнуться..
>Ну и ради Бога, надо постучаться в НАСА
Мне сложно. Как говорил Василий Ивановыч: "Не смогу, языков не знаю" :) А через посредников - влом :(
>Почему именно НАСА? Они действительно нескольк закрыты, и там ...свои заморочки. Нужно попробовать какую нибудь «гражданскую» обсерваторию. В Америке как раз может и легче было б такие данные получить...
Гражданские я пробовал. Дело в том, что нужны не обработанные уже NASA данные, а "сырые", еще до осреднения, которое они провели. А в эту кухню никто кроме хозяев лезть не отваживается, да и на сколько я понял в среде астрофизиков это считается дурным тоном..
>Кстати, можерт вас заинтересует:
http://lanl.arxiv.org/abs/0811.0282
С Клаусом я хорошо знаком. Мы познакомились с ним в Германии в Бремене. Он уже давно не занимался финслеровой геометрией, а я его вновь "заразил", в частности, пригласив в этом ноябре на нашу каирскую конференцию. Судя по дате он эту статью из Каира в архив и отправил. Она и составляет основу его доклада. На сколько я понял из перевода его доклада в Каире, он приходит к печальному выводу о малости анизотропных финслеровских эффектов. Я с таким выводом не согласен. Основная проблема, полагаю, в стандартности подхода, который у него основывается на все том же классическом двухиндексном финслеровом метрическом тензоре..
>Т.е. нетривиальность аналогии между двойными и комплексными числами в том, что метрика «гиперболический» аналог комплексной плоскости похожа на метрику Минковского.
В двумерном случае не просто похожа, а тождественна! В четырехмерном, действительно, лучше говорить о похожести..
>Далее в Hn ситуация (по крайней мере внешне) похожа, и вы хотите в их лице найти некий «числовой» объект (кольцо?) который был бы в естественном симбиозе с геометрией Минковского? Эстетику вопроса я понимаю, но что это даст... практически?
Я толко по началу думал так. Сейчас знаю, что это существенно различные геометрии (в четырехмерии) и для того что бы кольцо (Вы правильно определили класс поличисел Нn) гиперчисел оказалось востребованным в физике - необходимо пересмотреть ее фундамент с метрики Минковского на метрику Бервальда-Моора. Что, собственно, мы и пытаемся в меру сил осуществить.. Практически (в случае удачи) это будет означать принципиальное упрощение представления и решения огромного числа физических проблем. В частности, в моделировании различных физических задач, так как тогда на 4-мерие можно будет распространить метод комплексного потенциала, идеально работающий на паре: комплексные числа - потенциальные двумерные физические задачи. При этом одними потенциальными случаями дело наверняка не ограничится, так как есть ходы за рамки бесконечной группы конформных отображений. В-общем, перспективы просто колоссальные. При этом не стоит забывать и о фракталах, которые на базе поличисел должны стать четырехмерными, то есть иметь три пространственных и одно временное измерение. Вы представляете себе такие четырехмерные аналоги фрактальных множеств Жулиа и Мандельброта?
>Если это удается сделать (?), то не будет ли это просто перевыражением старой теории на новом языке?
Речь не идет о переформулировке свойств геометрии с метрикой Минковского, речь об изучении физических и математических последствий финслеровой метрики Бервальда-Моора, в которой свойства геометрии Минковского содержатся лишь как предельный и весьма частный случай..
>Расширение СТО на нелинейные преобразования – что это? Линейность преобразований Лоренца это выражение или следствие линейности многообразия Минковского, а последнее это эмпирический факт. Утверждать, что оно в том или ином смысле нелинейно, можно только на основании физических наблюдений, а не математических обобщений. Пока первое не найдено, последнее – математическая игрушка.
Пространво поличисел с финслеровой метрикой Бервальда-Моора также линейно, как и пространство Минковского. Я говорил о его нелинейных ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ. Примерно таких же как на комплексной плосоксти, которая также линейна, а вот конформные преобразования на ней уже в общем случае нелиненйны. И имел ввиду приписывание физического смысла соответствующим нелиненйным конформным преобразованиям, примерно так же как линейные изометрические преобразования интерпретируются как переходы от одной инерциальной системе отсчета к другой такой же. Похоже, что конформные преобразования в Нn мы имеем точно такое же право трактовать как переходы между особого вида НЕИНЕРЦИАЛЬНЫМИ системами отсчета. Именно это я и назвал расширением СТО, правда, не в пространстве Минковского (где необходимой для этого бесконечной конформной группы просто нет), а в несколько непривычном пространстве Н4.
>Так что о какой нелинейности речь? Формальные нелинейные преобразования координат – это всегда пожалуйста, внутренней геометрии Минковского это не меняет. Если же она меняется, то в общем виде это ОТО (где-то между ними еще и Логуновская теория, но я ее плохо понимаю) – и что, вы хотите перевести ОТО на теоретико-числовой язык? А смысл?
Предлагаю Вам более внимательно присмотреться к физическим интерпретациям конформных преобразований на евклидовой плосоксти. Они имеют не только смысл нелинейных преобразований координат, но и переходов от одной физической задачи (физической системы) к другой. В частности, конформное преобразование, свящанное с аналитической функцией натурального логарифма можно интерпретировать не только как переход от декартовой сетки координат к полярной, но и как переход от физической системы связанной с плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости к ее потоку из изолированного точечного источника. И так с ЛЮБОЙ аналитической функцией и связанным с нею конформным преобразованием. Аналогично все устраивается и на плоскости двойной переменной и соответствующей ей двумерной псевдоевклидовой плоскости, и в любом другом пространстве с метрикой Бервальда-Моора, в частности, четырехмерном, которое и можно вместо Минковского интерпретировать как модель реального пространства-времени.. Вот Вам и смысл..
>Да, но если эти точки не образуют закнутого пространства на котором «действует» алгебра этих самых чисел, т.е. при действии преобразования на «обычную», т.е. «обратимую» точку можно плучить «исключение», то «плохие» и «хорошие» точки смешиваются, и это портит всю малину, получается неудобоваримая каша.
Немного перефразируя профессора Преображенского, скажу, что каша, скорее, в головах. Скажите, кому ни будь представляются кашей свойства точек и векторов светового конуса псевдоевклидовой плоскости? Особенно учитывая, что это, пусть и низкоразмерное, но самое обычное пространство Минковского? Да, смешение иногда возможно, но точно также как возможно смешение связанное с проблемами деления и умножения на ноль в обычных числах и соответствующем тем евклидовом пространстве. Вас ведь возможность ТАКОЙ каши не смущает? Нужно просто помнить об особых свойствах делителей нуля и быть математически аккуратным при делении и умножении на них, так же как и при аналогичных операциях для нуля..
>Это теорема? Именно с метрикой Бервальда Мора?
Нет, я не доказывал такой теоремы (не умею), однако уверен, что ее можно доказать. Скорее всего, она будет справедлива и для любых других невырожденных поличисел.
>О господи. N-арное расширение группы... мне нужна сигарета.
А кому сейчас легко? :) Подсластить пилюлю можно надеждой на то, что в некоторых частных случаях (к которым, скорее всего, относится Н4) эти 3- и 4-группы окажутся не намного сложнее и непонятнее, чем обычная конформная группа симметрий..
>Такой вопрос: я так понял, что в общем и целом вы пытаетесь установить «финслеровость» физического пространства, причем из априорных соображений. Т.е. из всех потенциально возможных метрик вы хотите выделить (?) одну или несколько таких, которые потом проверятся наблюдениями.
>На философском уровне (даже на нескольких таких уровнях), я согласен, что имеет смысл думать, что реальная физическая метрика в основе своей «динамическая», «вариационная», и в этом смысле финслерова. Квадратична она или нет – отдельный вопрос. Но если уж идти в сторону финслеровости, почему надо выделяеть метрику Бервальда Мура? Есть свойства, которые ее выделяют, типа бесконечномерной конформной группы – но сами эти свойства априорные, т.е. в чем-то отфонарные...
В свое время, Герман Вейль, будучи скорее математиком, чем физиком, взявшись за идею расширения ОТО и размышляя над проблемой, какую метрику положить в основу дальнейших построений сформулировал для себя следующий критерий: наиболее удобным физическим фундаментом будет та геометрия, что обладает МАКСИМАЛЬНЫМ разнообразием симметрий. Я целиком согласен с таким, казалось бы, нефизическим критерием! Одна беда, Вейль, по совершенно не понятным мне причинам, включил в анализ только ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ симметрии! А ведь, как мы сейчас видим, их не следует даже ограничивать исключительно конформными и даже просто группами. Иными словами, я безропотно соглашусь выбросить и на всегда забыть про метрику Бервальда-Моора (я уж не говорю про метрику Минковского), если кто ни будь мне покажет (и докажет) наличие пространства, имеющего более богатые множества дискретных и непрерывных метрических стимметрий (не важно каких, связанных с инвариантностью длин, углов, тринглов или вообще связанных с n-группами).
предыдущая
e-mail: 
