> А вообще я имел в виду крайне простую вещь. Это ничто иное, как производная, ковариантная по отношению к унитарному преобразованию операторов с помощью оператора эволюции.

Александр, это не совсем простая вещь и Вы молодец, что увидели это. Единственное место, где я встречал подобную мысль - книга Горбацевича Квантовая механика в общей теории относительности. К сожалению, я не смог найти в ней ответы на все вопросы, которые меня интересовали, в частности
1) является ли Гильбертово пространство квант мех-ки римановым многоообразием
2) является ли пространство эрмитовых операторов римановым многообразием
3) существует ли кривизна в этих пространствах
4) явное выражение для аффинной связности и кривизны.

По поводу вопросов 1)-3) хочу сказать следующее. Гильбертово пространство волновых функций эвклидово. Поэтому "кривизны" здесь, по-видимому, нет. В отношении пространства операторов не знаю (см. у фон Неймана). Что же касается вопроса 4), то, как Вы знаете, аффинная связность можеть быть отличной от нуля даже в эвклидовых пространствах (в криволинейных координатах). Горбацевич, как я сказал, не приводит явного выражения для аффинной связности. У него связность подчиняется только одному условию: эрмитово сопряженная связность равна связности с обратным знаком. К сожалению я не смог подобрать физически приемлемую матрицу под это условие.

Еще раз больщое спасибо за комментарий и информацию.

Может я несовсем вас понимаю, но по-моему как раз в 8 главе говорится о связи классической и волновой механики в п.8 и о геометрическом толковании в п.9.

Константин, а Вы не задавались вопросом о геометрических корнях симплектической структуры классической механики? Было бы забавно придумать такую модельку, в которой симплектическая структура получалась бы из динамики некой геометрической модели.

Квантовая механика и дифференциальная геометрия
Автор: Константин Ропотенко (amateur)
> я так и не нашел ответа на свой вопрос: чему соответствует аффинная связность в классической механике? Имеет ли квантовая механика "кривизну"?

Ответ:
Я не знаю, какую связь имеет скобка Пуассона с аффинной связностью (просто не возникал такой вопрос и потому не могу ответить ни да, ни нет). А вот на конкретные вышеприведенные вопросы ответить, кажется, могу. (К сожалению, чтобы толково объяснить, нужно приводить много формул, а у меня не получается).

>«Чему соответствует аффинная связность в классической механике?»

Соответствует переносу вектора по криволинейной траектории. При этом возникают дополнительные члены соответствующие либо связностям Риччи (при плоской криволинейной траектории, когда вектор лежит в плоскости и не вращается около кривой), либо связностям Кристоффеля (при пространственной кривой, когда при переносе вектор дополнительно испытывает вращение вокруг линии траектории).

> «Имеет ли квантовая механика "кривизну"?»
Да, как ни странно, имеет, и очень тесную.

Райдер, Л. (1987). Квантовая теория поля. М., Мир,. Стр. 140.
«Ковариантная производная (контравариантного) вектора имеет вид (см. отдельно, как картинку)
.
Величины , которые называются "коэффициентами связности" очевидно, играют роль, подобную роли векторных потенциалов . Название коэффициентов связности соответствует тому, что они связывают компоненты вектора в одной точке с его компонентами в соседней точке, из которой вектор перемещен путем параллельного переноса, как это описано выше. В связи с данной аналогией некоторые физики называют величины связностями».

(Здесь речь идет о теории Янга-Миллса и потому о векторных потенциалах-матрицах, но то же самое имеет место и в теории Дирака, только это будут, как я сказал, коэффициенты Риччи и обычные потенциалы, а не матрицы).

Мне не хочется отсылать Вас к своим работам (поскольку к новым теориям относятся с большим недоверием, это ставит меня в дурацкое положение), но там все это приведено подробно. Так что, если хотите, посмотрите на http://www.yurishestopalov.com/ в домене «Кирьяко» водную статью с обзором соответствующих работ, а также главы 2 и 7 книги (там показано появление в КМ коэффициентов связности Риччи и Кристоффеля соответственно). Там же есть подробная литература по этим вопросам.