> Вы все время пытаетесь доказать, что для множества Def
> [ZFC], нарушена аксиома фундирования и как я понял Ваша
> цель состоит в том, чтобы показать, что вопреки моему
> утверждению, счетная совокупность Def[ZFC] множеством не
> является. Но поскольку ZFC на самом деле противоречива, то
> вполне возможно, что Def[ZFC] и фундировано и не
> фундировано одновременно. Я точно не знаю, является или
> нет множество Def[ZFC] противоречивым в этом смысле. Не
> уверен... В любом случае Вы это дело не доказали, а если
> докажете, то это будет просто немного другое
> доказательство противоречивости ZFC и только.

Да нет, разумеется.

В доказательстве нет ошибки. И противоречивость ZFC не доказана. Вы, конечно, можете сами в нее верить, в эту противоречивость, тем более, что прекрасно осведомлены о том, что доказать непротиворечивость любого расширения арифметики невозможно. Только если противоречие существует - должно быть приведено совершенно строгое конечное доказательство его существования, так как в отличие от непротиворечивости, для невыполнимости теории такое доказательство в логике первого порядка всегда существует. Я такого доказательства не вижу, более того, то, что я вижу, не позволяет надеяться, что такое доказательство существует. Так что хотите верить в противоречивость ZFC - пожалуйста, без меня. Без строгого доказательства противоречивости этот подход неконструктивный. И, пожалуйста, не вводите других людей в заблуждение. Вы же как математик не можете не понимать, что "очевидно доказательствам" грош цена, если человек, которому это очевидно, не видит на самом деле все промежуточные шаги очевидного и не может их привести по первому требованию.

Что же я на самом деле доказал в предыдущем своем доказательстве?

Логика первого порядка позволяет единственный способ построения предложений теории, не важно, теорем, аксиом обычных или аксиом по схеме. Берем символы языка и записываем грамматически правильные формулы. После того, как мы все аксиомы записали, мы их начинаем интерпретировать, подставляя значения нелогическим символам языка используемой логики. Если существует хотя бы одна интерпретация, в которой выполняются все аксиомы - то теория непротиворечива. Если такая интерпретация не существует - то она противоречива. Кроме того, иногда можно говорить про "стандартные интерпретации", обладающие интуитивно ожидаемыми свойствами. Желательно, чтобы теория выполнялась на своей стандартной интерпретации, но если она там не выполняется, а выполняется на какой-то иной интерпретации - теория все равно непротиворечива.

Так вот, почему я не верю в то, что Вам удастся доказать противоречивость ZFC. Если бы Def[ZFC] оказалось счетным множеством (подчеркну, множеством в смысле "элемент области ZFC" и счетным средствами самой теории), то ZFC бы оказалось невыполнима, следовательно, противоречива. Однако в ZFC не видно средств, которые бы позволяли метасчетное метамножество всех задаваемых замкнутой формулой множеств представить как счетное множество внутри самой теории. В ZFC нет такой функции, следовательно, её нужно либо выводить из предикатного символа принадлежности и арифметических операций, которые должны быть стандартными в N чтобы N была частью стандартной интерпретации ZFC, либо нужно вводить как расширение теории. Но если некоторый функциональный символ в некоторой интерпретации приводит к невыполнению аксиоматики - это означает, что интерпретации с таким значением функционального символа запрещены. Следовательно, функциональные символы, делающие Def[ZFC] счетным множеством, запрещены. И дело даже не в том, что их запрещает аксиома фундирования. Аксиома фундирования, сужая класс допустимых интерпретаций, просто запрещает подобные интерпретации заблаговременно, чтобы математики не лазили в это болото по неостророжности. Но если бы даже её не было - то первое же получившееся противоречие, вроде Вашего противоречивого множества Def[ZFC], тут же бы запретило эти _интерпретации_. Не запрещая те расширения ZFC и те интерпретации, в которых эта внешняя функция не позволяла бы построить счетное множество Def[ZFC].

Ну а если хотите вывести такую нумерирующую функцию внутри ZFC только из предиката принадлежности и арифметики, доказав даже не противоречивость, а хотя бы несовместимость со стандартной интерпретацией арифметики - что-ж, желаю удачи. Только не забывайте, пожалуйста, что, как Вы сами правильно заметили, в классе Def[ZFC] присутствуют не только натуральные числа. Но кто знает, может быть Ваши усилия не пропадут даром, и Вы хотя бы докажите, что интерпретации ZFC, в которых ZFС выполняются, не могут наследовать пустое множество и предикат принадлежности из мета-ZFC?

Чтобы не быть голословным, привожу цитату из Коэна касающуюся этого злополучного нумератора формул

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cohen.html




Там черным по белому написано, что формулы нумеровать не только можно, но даже нужно. По Вашему мы с Коэном ошибаемся. Но вот Вольпин подтвержает, что Коэн где то как то прав. Выходит так, что нумеровать формулы можно, когда доказывают, что непротиворечивость не доказуема. А в том случае, когда доказывают, что противоречивость доказуема, то нумеровать формулы уже запрещается.
Если Вам нравиться относить формулы к мета области, так нет проблем, относите. Речь идет о нумераторе геделевских номеров формул, неужели Вам это не ясно? Или это дело Вы тоже отменили новым декретом? Ну так я ничего не имею против, только тогда все теоремы Геделя, Вашим декретом _очевидно_ тоже отменяются.
Вольпин (Есенин-Вольпин) Александр Сергеевич (р. 12.05.1924, Ленинград).
Широко известен среди математиков как один из крупнейших специалистов по математической логике и основаниям математики, создатель самостоятельного научного направления — ультраинтуиционизма.
Основу математических и философских взглядов Вольпина составляет крайний скептицизм — отрицание всех принимаемых на веру абстрактных понятий — Бога, бесконечности.
http://www.hrono.ru/biograf/bio_we/volpin.html
P.S. Доказать противоречивость ZFC с аксиомой фундирования, действительно немного проще чем без нее, но никаких существенных технических упрощений, это на самом деле не даст.