Пример 2. G = 139 s=13 d=8, f=5 e=-1, i=1 (13=8e-5i c точностью до знака), при k=1 1)d-e=9, 2)f-i=4, 3) H = 9^2 + 3(4)^2 = 3(43) 4) U= G -de -3fi =132, 5) T = U +3s =171, 6) 6sGH = (6*13)(3*43)139 = (a)(b)c = (2*43)(9*13)139. (Проверка a+b+c= 2T)
Соответствующая эйлеровская четверка 32, 54, 85, 93.

Хотя оба этих примера доводят решение до конкретных примитивных эйлеровских четверок, предложенный метод - это, скорее, способ испытания данного числа G на роль наибольшего числа (с) в тройке чисел a,b,c (необходимых - при условии совпадения их суммы с числом 2T = 2U + 3s - для решения в виде (x,y,z,W)) в частных случаях k=1, когда почти всегда можно так выбрать знаки у чисел e и i, чтобы было H<G.

В предыдущем сообщении я предложил рассмотреть задачу, которая близка к задаче Эйлера о четырех кубах.
Здесь хочу привлечь внимание к еще одному возможно полезному приложению.
Если у нас есть два целых числа G=D^2+3F^2 и H=d^2+3f^2 (1), то всегда есть возможность найти третье число R=e^2+3i^2 (3).
В частности, если H<G,то будет e=D-d, i=F-f .
А теперь мой вопрос к уважаемому Евг. ЗАЛЕГИНУ, который снабжает нас математическими изюминками: ведь правда, что в одном из последних писем П. ФЕРМА писал о доказательстве неразрешимости в целых числах уравнения x^3+y^3=z^3 (4) с помощью метода, ПОХОЖЕГО на метод неопределенного спуска ? Спрашиваю потому, что 1) вышеприведенное как раз и есть некоторый метод перехода от бОльших чисел к меньшим,
2) Уравнение (4) после удвоения степени принимает вид:

z^6-(xy)^3 = x^6+(yz)^3 =Y^6+(xz)^3=(z^2-xy)(x^2+yz)(y^2+zx) =
= KLM (5) (Здесь числа K,L,M - попарно взаимно простые нечетные числа вида (1), K<L<M, если x<y<z
3)Очень логично обобщение на любой нечетный показатель, так как K,L,M входят в качестве сомножителей в уравнение с показателем n вида (5).