У вас неверно последняя квадратная скобка: 3(y-x)^2 + [(y-z) + (y-x)]^2

Надо, чтобы: 3(y-x)^2 + [(x-z) + (y-z)]^2

А вытекают все Ваши тождества из известных соотношений:

3(z-x)^2 + (x-2y+z)^2=3(z-y)^2 + (-2x+y+z)^2=3(y-x)^2 + (x+y-2z)^2

Видел, кажется, у Серпинского.
То, что вы сделали - лишь добавили лишнюю сумму в каждом из трех выражений.
Да и то - невнимательно.