>Из этой оперы есть хороший пример со сферами, где максимальное число линейно независимых векторных полей n-мерной сферы не обязано быть равным n.

Рад, что Вы согласны со мной. Но все мое рассмотрение - это пример того, сколь опасно полагаться на риманову геометрию, особенно в ее топологических изысках. Топология не является независимомой от метрических свойств геометрии, а определяется ими. Цель моего комментария была в том, чтобы продемонстрировать, что не стоит ограничивать геометрию пространства-времени в микромире только римановыми (аксиоматизируемыми) геометриями, хотя в науке известны случаи, когда правильные выводы получались на основе неправильных представлений

>Как-то это напоминает фазовое пространство, число линейно-независимых параметров которого зависит от числа степеней свободы. И в реальном мире есть много характеристик не зависящих в чистом виде от координат тела (температура, давление, устойчивость и др.) Поэтому, в пространстве 4-х измерений критерием, наверное, выступает перпендикулярность 4-й координаты к трем остальным

Физическая геометрия есть наука, изучающая расположение геометрических объектов в пространстве или в пространстве событий (пространстве-времени). Если задано расстояние между всеми парами точек в пространстве, то геометрия этого пространства полностью описана. Никакие другие характеристики точек (цвет, запах, температура и т.п.) никак не влияют на геометрию. Если в  пространстве заданы какие-то структуры, то возникает обогащенная геометрия, т.е. наука описывающая не только расположение геометрических объектов, но и что-то еще дополнительно. Физическая геометрия и обогащенная геометрия - это разные вещи, которые нельзя путать.

То обстоятельство, что математики понимают под геометрией не совсем то, что понимают физики, является крайне досадным обстоятельством. Математики понимают под геометрией некую логическую конструкцию, в которой имеются понятия точки и прямой. При этом вовсе не обязательно, что эта конструкция описывает расположение геометрических объектов (например, проективная геометрия, квантовая геометрия). Во избежание путаницы я называю подобные логические конструкции математическими геометриями. Некоторые математические геометрии являются одновременно и физическими геометриями, например, собственно евклидова геометрия.

Математические геометрии изучают главным образом способы описания геометрии. Это важно и интересно, но к сожалению, при этом способ описания геометрии отождествляется с самой геометрией. А этого делать не следует. То обстоятельство, что математики, (а вслед за ними и физики) путают геометрию со способом ее описания не делет им чести.

Хотя в настоящее время подавляющее число математиков полагает, что риманова геометрия представляет собой совокупность многообразия, тензоров, ковариантного диффиеренцирования, связности т.п., это совсем не так. Риманова геометрия в ее физической интерпретации является разновидностью физической геометрии, используемой для описания кривого пространства-времени. Она интересна физикам именно как наука о расположении геометрических объектов в пространстве событий. Она полностью описывается мировой функцией. Вопрос о том, является ли риманова геометрия логической конструкцией - это второстепенный вопрос, интересный для математиков.

Для физиков важно, чтобы из мировой функции можно было извлечь все те геометрические утверждения, которые мы умеем извлекать из обычной евклидовой геометрии. Вопрос можно ли вектор представить как сумму его составляющих по разным осям и сколько этих осей - это вопрос описания геометрии, который решается в одной физической геометрии и не решается - в другой. Это вопрос описания геометрии.