Существует ли у векторных полей евклидовых (псевдоевклидовых) пространств закон, по которому они живут? Иначе говоря, какова динамика векторного поля, и вообще, куда и как оно эволюционирует? Насколько я понимаю, вопрос не простой и связан с выбором подходящего функционала, который отвечал бы за устойчивость векторного поля.

Пусть в качестве такого функционала выступает криволинейный интеграл от ортогональной проекции векторного поля на эталонном отрезке прямой общего положения. Тогда равенство нулю вариационной производной этого функционала, определённого на предельно малых эталонных отрезках, даёт необходимые и достаточные условия локальной устойчивости векторного поля.

Оказывается, что локально устойчивые (минимальные) поля это такие единичные голономные векторные поля, семейство ортогональных поверхностей к которым является семейством локально минимальных поверхностей. Тем самым, локально минимальные поля и локально минимальные поверхности дуальны друг другу, поэтому становится прозрачным также понятие абсолютно и глобально минимального поля. Теперь понятно также, что векторное поле эволюционирует от локально минимального состояния к абсолютно минимальному состоянию, где оно наиболее устойчиво.

Представим теперь, что векторное поле (движущаяся материя) эволюционирует в пространстве Минковского. Тогда динамика векторного поля должна индуцировать динамически изменяющееся псевдориманово многообразие, в котором 3-мерное пространство наблюдателя порождается ортогональной к этому полю локально минимальной поверхностью. Если в качестве глобально минимального векторного поля взять постоянное векторное поле, то оно будет также и абсолютно минимально, но не исключено, что такая абсолютная минимальность относительна, поскольку мы упускаем из виду какие-то детали.

Похоже, что динамика векторного поля даёт хорошую пищу для построения космологических моделей. Мне, например, нравится модель, в которой рассматривается динамика векторного поля семимерной сферы, на которой в результате флуктуации возникло нестабильное векторное поле, эволюционирующее тем не менее к некоторому стабильному абсолютно минимальному состоянию.