Лобачевский, как известно) заменл пятый постулат Евклида на его отрицание, но он не знал как доказать совместность остальных аксиом Евклида с новым постулатом. Поэтому он просто стал развивать на его основе "новую" геометрию, в надежде убедить других математиков в том, что противоречия там нет. Современные ему математики, разумеется не требовали от него доказательства непрпотиворечивости его геометрии, потому что непротиворечивость геометрии Евклида в те далекие времена (когда куры клевали овес) тоже не доказывалась, а принималась на веру. Считалось, очевидным, что геометрия Евклида непротиворечива, по той простой причине, что ее постулаты взяты из
реального мира, который считается непротиворечивым. А вот по поводу постулата Лобачевского у современнико были большие сомнения и они смеялись и издевались над несчастным профессором Казанского университета.
Но уже через много лет после его смерти остальные геометры поверили в его идею и признали существование какой то новой абстрактной геометрии...
Вот тут то на сцене появился Феликс Клейн, со своей МОДЕЛЬЮ геометрии Лобачевского и заявил, что никакой такой геометрии не существует. Ситуация с этой моделью Клейна, по началу, приняла достаточно курьезный оборот...