> А почему?

По определению полного базиса.

Пусть |e^A(p)> - базис в каком-то векторном пространстве; A - векторный индекс, p - номер базисного вектора. Вектор <e_A(p)| - называют "сопряжённым", "дуальным", "ковариантным", "бра" и т.п. вектором. Базис называется полным, если сумма по всем векторам этого базиса даёт единичную матрицу:

Sum_p |e^A(p)> <e_B(p)| = I^A_B.

Индексы "A" и "p" могут быть обобщены до непрерывных, а векторное пространство обобщено, стало быть, до Гильбертова пространства.

Если базис не полный, то сумма

Sum_p |e^A(p)> <e_B(p)| = П^A_B.

даёт оператор проекции (проекционный оператор) П^A_B на некое подпространство того пространства, в котором эти векторы определены.