Магический квадрат - это квадратная матрица nxn, заполненная натуральным рядом чисел таким способом, что в каждой строке, в каждом столбце и каждой из двух главных диагоналей сумма чисел в ячейках постоянна и равна 0,5 n (n*n+1). Если же в магическом квадрате еще и каждая ломаная диагональ имеет магическую сумму, плюс ко всему любая пара чисел в кососимметричных ячейках дает в сумме 1+n*n, то мы получаем идеальный магический квадрат. Пользуясь математической терминалогией, можно сказать, что идеальный магический квадрат (или ИМК) - это одновременно пандиагональный и ассоциативный магический квадрат. В английской литературе его окрестили термином ultramagic. Впервые единый подход к построению ИМК любого допустимого порядка n разработал в середине 2008 года москвич Георгий Александров. Не удалось найти решения для следующих значений n>2: n=3, 4, 4k+2 , где k=1,2,3,...
В остальных случаях используются так называемые "цепи Александрова", необходимые при составлении пар латинских квадратов. Последние оказались пяти видов для следующих значений n:
1) n=5+2t (за исключением n=9+6t);
2) n=9+6t (за исключением n=15+30t);
3) n=15+30t ;
4) n=8t ;
5) n=4+8t .
Здесь t=0,1,2,...
Цепи Александрова (ЦА) используются четырех видов:

ЦА-1: 1, n, n-1, n-2, ... , 2 [для 1)]
ЦА-2: 1, n, 3, 6, 2, [ 5+6t, 7+6t, 4+6t, 8+6t, 12+6t, 9+6t ], … [для 2) и 3)]
ЦА-3 1, n, n/2+2, n/2+4, …, n-2, n-3, n-5, …, n/2+1, n-1, 2, n/2, n/2-2, …, 4, 3, 5, …, n/2-1 [для 4) ]
ЦА-4 1, n, n/2+1, n/2+5, …, n-9, n/2+6, n/2+10, …, n-4, n-5, n-2, n-3, n-7, n-6, n-10, …, n/2+4, n-11, n-15, …, n/2-1, n-1, 2, n/2+2, n/2-2, …, 12, n/2-3, n/2-7, …, 7, 8, 4, 3, 6, 5, 9, …, n/2-5, 10, 14, …, n/2 [для 5) ]

Ниже даны ссылки на статьи. В первой работе подробно описана технология построения пар латинских квадратов и способ их объединения для получения ИМК. Остальные две статьи посвящены цепям Александрова.



http://renuar911.narod.ru/IDEAL_MSa.mht
http://sherbak9074.narod.ru/analit.mht
http://alfred-rudin.narod.ru/rudin07.mht


Магические квадраты лишь недавно были развлечением. Теперь же они - элементы прогресса нанотехнологии. Недавно в Интернете появилась интересная информация ( http://www.stereo.ru/whatiswhat.php?article_id=254 ): фирма "Тошиба" , разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно компоновать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются как четкость изображений , так и цветовые переходы. Идеальные магические квадраты имеют в два раза больше цепей ячеек, дающих магическую сумму. Следовательно, и качество изображений экрана телевизора должно еще более улучшиться.

В иллюстрациях приведен пример построения ИМК из двух латинских квадратов (Матрица i и Матрица j ). Каждая ячейка, например выделеная малиновым цветом, преобразуется по формуле: n*(i-1)+j = 7*(5-1)+2=30