Вы очень хитро ставите вопрос. Все равно, что спросить: какое расстояние в микронах между Буэнос-Айресом и Урюпинском ? Пока еще нет техники, способной с такой точностью измерять столь огромные расстояния. Так и в случае формулы: с ее помощью даже самые современные компьютеры не способны пока еще вычислить миллион значащих цифр у ПИ. Чтобы по формуле Валлиса-Александрова найти 10 первых верных цифр, мне потребовалось 7 сек. Отсюда можно выявить: сколько лет потребуется, чтобы доползти до миллиона. Для достижения дикой точности даже формула Рамануджана окажется недостаточной. Для этого придуманы принципиально новые алгоритмы.

>По методу Архимеда, расчитываются площади вписанного или описаного в окружность, многоугольников.
Что расчитывает - улучшение формулы Джона Валлиса? Объясните "на пальцах", чисто геометрически.

Формула Валлиса - это одно из первых полезных произведений (в смысле перемножений) в истории математики (не путать с рядами, где рассмотриваются суммы). Формула уникальна тем, что в ее состав входят две цепочки натуральных чисел. То есть при помощи самых закономерных последовательностей образуется самое таинственное и непредсказуемое число Pi.
В чем недостаток формулы Валлиса? Представим себе горизонтальную прямую, отстоящую от оси ОХ на расстоянии 3,1415926,,, то есть на расстоянии числа Pi. Так вот, по формуле Валлиса сближение происходит змейкой: то выше этой линии, то ниже. Точки как бы прыгают, словно заяц, перескакивая линию Pi, постоянно сближаясь к ней. Нужно сделать несколько тысяч прыжков, чтобы достигнуть более-менее приемлемой точности. Наш современник Александров нашел такой корректировочный прием, благодаря которому прыжки зайца сразу происходят в несколько раз ближе к прямой Pi. И достаточно уже несколько сотен членов произведения, чтобы точность вычисления оказывалась вполне приличной. Важным является то, что корректировочный коэффициент состоит из целых чисел.