> Это постулируется? Или это вывод из каких-то принципов?

Это свойство нашего пространства следует из эксперимента и больше ниоткуда, т.е. логически доказать это нельзя. Можно попробовать догадаться пользуясь "бритвой Окама". Дескать пространство трёхмерно значит шесть метрических функций уже есть, а ещё в нём можно с течением времени совершать движение, значит есть ещё три функции поля скоростей, итого всего получается девять функций. С какого потолка взять или из какого пальца высосать десятую функцию -- неизвестно, так что пользуясь бритвой Окама более не строя никаких предположений берём эти самые девять функций и строим из них лагранжиан, гамильтониан и т.д.. Если подходить к этому вопросу чисто математически, то рассматриваемое кросс-пространство как раз и характеризуется именно девятью функциями -- это прямое следствие кросс-геометрии. Если говорить в терминах постулатов, то можно сказать, что мол в ТГВ постулируется, что наше пространство событий есть кросс-пространство.

> Что значит "вдруг"?

Ну, была ОТО, а потом "вдруг" стала ТГВ :-)

> Но мне не хватает, видимо, квалификации, чтобы быстро придти к однозначному выводу о нарушении этим "полем" общей ковариантности

Да потому, что поле скоростей -- трехмерное векторное поле, а общековариантные величины -- четырёхмерные.

> Было бы очень хорошо, если бы Вы не сочли за труд, на примере шварцшильдовой метрики, как-то проиллюстрировать и прокомментировать все принципиальные особенности ТГВ

Шварцшильдовская метрика приводится к метрике Пэнлеве (являющейся одновременно и решением уравнений ТГВ):

ds² = c²dt² - (dr - V dt)² - r² dtheta² - r² sin(theta)² d phi²,

V = - c (a / r)^1/2, a - гравитационный радиус.

Пэнлеве получил её (и много других) пытаясь понять какова же кривизна пространства в окрестности Земли на самом деле (ведь её же можно измерить непосредственно с помощью триангуляции). Как известно, в ОТО вопрос о кривизне пространства не имеет смысла, так как там пространство и время в силу обобщённого принципа отноносительности Эйнштейна тщательно перемешаны и можно говорить лишь о кривизне пространства событий.

Время в метрике Пэнлеве и есть глобальное время (g⁰⁰ = 1). Пространство -- плоское, но неинерциальное V # 0. 

Забавно что величина V совпала с ньютоновой второй космической скоростью.

Если перейти в инерциальную систему (ускоренно сжимающуюся со второй космической скоростью), т.е. к координатам: dR = dr(R, t) - V dt, то метрика будет динамической, но пространство останентся плоским.