Змечание от Романа Романовича:
Небольшая поправка, не производит работу статическое магнитное поле, а переменное еще как производит! Возьми такой случай, магнитная пробка, в "пробкотроне", частица имея кинетическую энергию (скорость) вдоль поля, двигаясь в сторону увеличения поля, будет тормозиться теряя энергию! То есть энергия частицы увеличится! Исправь пожалуста свой ответ, можешь на меня сослатьсяю. А вообще то, задача нетривиальная и на самом деле не однозначная, руки бы поотрывать тем кто их задает ученикам без должной подготовки!
Шутка Хорошо хоть требуют только качественный ответ.
Роман Романович.

Вот этого я не заметил. Если привыкаешь пользоваться только школьным курсом, то тупеешь.
Спасибо.

Вообще-то энергия может и уменьшиться.
НН

"Радиус орбиты не изменится."

Что-то не совсем понятно. Если магнитное поле отключить, разве электрон продолжит вращаться по окружности того же радиуса?

Сергей Юрьевич, не сочтите за труд ответить на вопрос:
Каким образом получилось, что r=R, т.е. =const(t) (в формуле 6), если в уравнении (2) производная dr/dt ненулевая?

По поводу нижней части, ур. (6)-(9).

Вы пишите: "Частица вращающаяся с циклотронной частотой:" и далее в уравнении (7) эта циклотронная частота у вас стоит в зависимости от времени ( ω(t) ). Там же магнитная индукция тоже стоит в зависимости от времени ( B(t) ). Т.е. магн. поле - переменное.
Цитата:


В определении для циклотронной частоты говорится:
"Циклотронная частота (гирочастота, гиромагнитная частота) — частота периодического движения заряженной частицы в постоянном магнитном поле H в плоскости, перпендикулярной H."



Т.е. циклотронная частота определена для постоянного магнитного поля, а не переменного. Для постоянного магн. поля и радиус орбиты электрона само собой тоже будет постоянным. Для одной индукции - один радиус, для другой - другой. :-)
В самих циклотронах, магнитное поле не только однородное, но и постоянное. И разгоняются частицы в них только за счет высокочастотного эл. поля. При этом частицы движутся по спирали.

Можно ли так спокойно менять ПОСТОЯННОЕ магн. поле на ПЕРЕМЕННОЕ?

PS: Другими словами, либо верно ур.(6), либо ур.(7), но не оба одновременно.
Мне так кажется... :-)

> ...зная, что период пропорционален радиусу...

Циклотронная частота не зависит от радиуса.

Да уж, бедные школьники...

Согласен со способом решения Г.Еремеева. Можно даже проще, без принципа Ле-Шателье: если бы кинетическая энергия, а значит и скорость, не изменилась бы, то в бОльшем магнитном поле отклоняющая сила тоже больше, что при постоянной скорости соответствует меньшему радиусу орбиты и меньшему периоду, а это не позволяет записать ответ в требуемой форме.
С другой стороны, в постоянном магнитном поле чем больше энергия (и скорость) тем больше радиус; чем меньше - тем меньше; значит, если бы по отношению к предыдущему случаю энергия уменьшилась бы, то радиус уменьшился бы ещё больше, а значит мы опять не можем записать ответ. Остаётся лишь случай с увеличением энергии (и скорости). Аналогично отбрасываем постоянство периода, на повышенной скорости достижимое лишь при увеличении радиуса, и получаем постоянство радиуса при уменьшении периода.
/Кстати, постоянство периода обращения в *постоянном* магнитном поле, независимо от энергии (а значит и увеличение радиуса с увеличением энергии и скорости), должно быть известно школьникам из описания циклотрона./

Сравнивая с решением Губанова (с гамильтонианом), остаётся лишь радоваться что его в школе не проходят. (поскольку *решение* гамильтониана есть не физика, а чистая высшая математика). Или огорчаться. (поскольку *составление* гамильтониана это физика достаточно высокого полёта). Школьники, конечно, только рады.

Но главный результат сравнения двух решений - это понимание того, что замена обычного экзамена на ЕГЭ приводит к тому, что школьники вместо *решения* задачи по физике начинают просто *подбирать* ответы - решая, так сказать, задачу по логике и комбинаторике (в данном случае с небольшой добавкой геометрии)... ведь раньше проверялся весь ход решения, а в ЕГЭ ход решения как таковой отсутствует. :(
Вот и получается, что к реальным *физическим* задачам /почти все/ задачи ЕГЭ /почти/ никакого отношения не имеют.

Рад за Вас, Сергей Юрьевич. А скажите, эта спираль чисто качественная, или это численный расчет при неких конкретных численных значениях параметров поля и частицы?

В пределе b->0 скорость, наверное, не сильно будет меняться, а только радиус?

Небольшое дополнение для тех кто хочет с этим вопросом более углублённо поразбираться:

Уважаемый Сергей Юрьевич, Вы неосторожно написали
<Прошу прощения у всех кого ранее ввёл в заблуждение.
Прошу за это прощение :>}, помочь мне решить школьными методами следующую задачку из тех же вариантов, но это С.
"Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC площадью 50 см2 расположен перед тонкой собирающей линзой так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы 50 см. Вершина прямого угла C лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки C равно удвоенному фокусному расстоянию линзы (см. рисунок). Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры."
Решение, которое прилагают авторы пришлю позже.
НН

> ... и следовательно кинетическую энергию не изменяет.

Кинетическая не единственный вид энергии... :-)

>Интересно, а ожидаемый от учеников ответ где-нибудь приводится?

Мне тоже интересно увидеть школьное решение этой задачи.

При проверке правильным будет считаться ответ:
Радиус - уменьшится.
Период - уменьшится.
Энергия - не изменится

"Центр" rot E - это любая точка плоскости, если поле действительно равномерно. Покоящееся тело под его действием сможет лишь вращаться... а частица, имея пренебрежимо малые размеры, останется в покое - ведь это вихревое поле будет лишь *вокруг* неё! В реале, опять-таки, движение может возникнуть лишь из-за неидеальности системы.

Вернёмся к Вашему гамильтониану... я не силён ни в них, ни в высшей математике в целом - уже многое забыл. Но мне кажется, что в данной задаче переход от обычных координат к полярным позволит упростить как сам гамильтониан, так и его решение - и наконец решить эту задачу до конца!

А промежуточным доказательством правильности "физического" варианта (увеличения энергии) является аналогия со сверхпроводящим кольцом. Пусть вначале оно не было сверхпроводящим, потом стало - ток нулевой, магнитный поток внутри кольца "заморожен". Изменим поле на малую (но определённую) величину - по кольцу пойдёт ток, соответствующий одному вращающемуся электрону. Увеличим поле *вдвое* - по кольцу пойдёт сильный ток, возвращающий поток сквозь кольцо к прежнему значению. *А теперь начнём сокращать радиус кольца!* Ток станет уменьшаться. До нуля он уменьшится, когда поле внутри и снаружи сравняется (а поток внутри останется прежним), то есть когда *площадь* уменьшится вдвое - а радиус, соответственно, в sqrt(2). Малое отклонение от этой величины даст ток, соответствующий одному вращающемуся электрону - уже по орбите с новым радиусом!
То есть, приблизительно получается так: увеличение поля в N раз приводит к росту в N раз и кинетической энергии (и потока поля, "охватываемого" вращающейся частицей), скорость увеличится в корень из N, радиус уменьшится тоже в корень из N, частота вращения увеличится ровно в N раз - как и положено циклотронной частоте.

P.S. Я бы на экзамене в условиях дефицита времени выбрал бы "простейший" вариант - и "уложился" бы в правильный ответ; при небольшом запасе времени я предпочёл бы "логический" вариант - и ошибся бы; и лишь потратив несколько часов, пришёл бы к "физическому" варианту; и, как показывает ответ, снова ошибся бы - во всяком случае, по отношению к экзаменатору-проверяющему.
Интересно, можно ли в судебном порядке оспорить неверный "правильный" ответ в ЕГЭ? Ведь прецедент такого ошибочного решения кажется был - но о судебном процессе по такому поводу ничего не слышно. А жаль... Доказать экспериментом ошибочность рекомендуемого ЕГЭ ответа - стало бы отличным шагом по опротестованию ЕГЭ в целом! ;)

P.P.S. Ага, я не заметил вовремя, Вы выше (10.05.2009 16:26 )как раз и привели формулы почти к такому же случаю... Отлично! *ПОЛУЧАЕТСЯ, ОШИБКА В ЕГЭ ДОКАЗАНА!!!* Жаль только что в репетиционной части... :(

P.P.P.S. А для покоившейся частицы - по аналогии - возьмём кольцо любого размера и делаем его сверхпроводящим при нулевом поле. Тогда поток сквозь него нулевой, а значит при любом ненулевом поле для сохранения потока радиус должен уменьшиться до нуля - то есть частица останется в той же точке покоя. В Вашем случае, уравнение (5) имеет тривиальное частное решение z(t)==0, справедливое независимо от значений и изменений омеги.