> как она стыкуется с квантами?

Канонически стыкуется. Есть физический объект - трёхмерное пространство. У него есть канонические координаты, канонические импульсы и гамильтониан. Оно эволюционирует в согласии с гамильтоновыми уравнениями динамики, на которые наложены 3 связи (вариация действия по полю скоростей). Квантование самое что ни на есть незамысловатое - заменяем канонические импульсы на вариационные дифференциалы, выражаем через них гамильтониан, и ищем его собственные функции. Есть трудность в математической части - функциональное пространство трёхмерных метрик искривлено. Техника работы с искривлёнными функциональными пространствами пока ещё не развита. Так что, пока "чешем репу".