Интерлюдия

Начну, пожалуй, с найденной описки во II томе Ландау Лифшица "Теория поля" (Москва Физматлит 2003) стр. 360 параграф 93 "Действие для гравитационного поля", второй абзац:

Действие S_g, как и действие для электромагнитного поля, должно быть выражено в виде некоторого скалярного интеграла ..., взятого по всему пространству и по временной координате x⁰ между двумя заданными ее значениями.

Описка заключается в том, что, на самом деле, в гильбертовском действии для гравитационного поля интеграл, конечно же, берётся по всему пространству-времени. Собственно, далее по тексту, все вычисления делаются как раз так как и надо делать если интеграл взят по всему пространству-времени, это и позволяет заключить, что имеет место просто описка, а не ошибка. Кстати, значение интеграла взятого по временной координате x⁰ между двумя заданными ее значениями вообще лишено смысла потому, что x⁰ - всего лишь формальная координата (это не собственное время какой-либо лаборатории) и может быть произвольным образом переопределена при переходе в другую систему отсчёта. Так ли уж случайно была сделана указанная описка? Почему её не заметили редакторы и не исправили? Наверное потому, что в физике ведь и в самом деле принято интеграл действия брать между двумя фиксированными моментами времени. Общая теория относительности Эйнштейна сформулирована иначе - интеграл действия взят по всему времени. Этим она отличается от "обычных" теорий сформулированных в каноническом формализме Эйлера, Лагранжа и Гамильтона. Уравнения Эйншейна, как известно, не являются динамическими в том смысле, что их решения сразу дают ответ для всего прошлого, настоящего и будущего. Задача Коши для них весьма своеобразна: нельзя произвольно задавать любые начальные данные и смотреть на эволюцию, наоборот, данные Коши в ОТО должны удовлетворять определённой системе дифференциальных уравнений. Также известно, что гамильтониан ОТО равен нулю в силу уравнений движения. Ну, если уж перечислять "странности" ОТО, то стоит добавить ещё проблему геодезической полноты: ОТО описывает слишком много многообразий - даже такие, которые, по всей видимости, не могут быть физически осмысленными.

Глобальное время в ОТО

Далеко не многим это известно, но в ОТО есть (всегда было) глобальное время. Так уж исторически сложилось, что со времён специальной теории относительности время принято было считать относительным. Автор ОТО и СТО - один и тот же человек. Названия у них похожи. Быть может поэтому исторически было принято считать что ОТО обобщает СТО. Однако, СТО - это теория о точечных частицах движущихся с околосветовыми скоростями, а ОТО - это теория гравитационного поля. Не может теория гравитационного поля как-то обобщать теорию о летающих частицах. Частица - точечная. У каждой движущейся частицы (лаборатории) есть собственное время - в этом смысле в СТО время относительно. Гравитационное поле - не локальный объект! Оно есть сразу во всех точках. Есть ли у гравитационного поля своё "собственное время" определённое сразу во всех точках? Оказывается, можно ввести такую функцию t(x⁰, x¹, x², x³) физическим смыслом которой будет собственное время (трёхмерного) пространства. Далее, делая замену координат x'⁰ = t(x⁰, x¹, x², x³), мы перейдём в систему отсчёта связанную с собственным временем (трёхмерного) пространства или, так называемым, глобальным временем. Уравнение для нахождения функции t(x⁰, x¹, x², x³) есть:

g^ij(x) (dt(x)/dxⁱ) (dt(x)/dx^j) = 1

мне известно, по крайней мере, три способа (физический, формальный и интуитивный) постараться убедить вас, что решение t(x⁰, x¹, x², x³) этого уравнения есть искомое глобальное время.

1) Физический...

Это уравнение есть ни что иное как уравнение Гамильтона-Якоби для действия точечной частицы как функции координат. Действие для свободной точечной частицы пропорционально её собственному времени. Если мы распылим по всему пространству пробные свободно падающие частицы, то собственное время каждой пробной частицы как раз и будет определяться указанным уравнением Гамильтона-Якоби. Объединяя теперь собственные времена каждой пробной частицы, мы и получим функцию t(x⁰, x¹, x², x³). Обратно, выбрав произвольную точку с координатами x⁰, x¹, x², x³ и поместив в неё пробную частицу, можно будет обнаружить, что ход собственного времени этой пробной частицы определяется функцией t(x⁰, x¹, x², x³).

2) Формальный...

Рассмотрим произвольную функцию f(x⁰, x¹, x², x³) и вычислим 4-форму (*df) /\ df, где * - оператор дуальности Ходжа. По определению, имеем:

df = (df/dxⁱ) dxⁱ

(*df) = (df/dxⁱ) (*dxⁱ) = (df/dxⁱ) g^ij g^1/2 (1/3!) epsilon_jklm dx^k /\ dx^l /\ dx^m

где epsilon – абсолютно антисимметричный тензор. Далее, получаем:

(*df) /\ df = g^ij(x) (df(x)/dxⁱ) (df(x)/dx^j) g^1/2 d₄x

Стало быть, если вместо f(x) взять указанную t(x), то получим:

(*dt) /\ dt = g^1/2 d₄x

Следовательно, элементы объёмов времени dt и дуального к нему элемента объёма пространства (*dt) ортогональны, в том смысле что их внешнее произведение даёт в точности элемент объёма 4-х мерного пространства-времени. Функция t(x) задаёт, вот такое вот интересное, “дуальное” 3+1 разбиение 4-х мерного пространства-времени.

3) Интуитивный...

Пусть у нас в произвольных координатах компонента обратного метрического тензора g⁰⁰(x) не равна 1 и мы захотели выбрать другую систему отсчёта (переопределить координату x⁰), в которой бы выполнялось равенство g⁰⁰(x) = 1. Обозначим новую x⁰-координату буквой t, тогда согласно закону преобразования тензоров имеем:

(dt/dxⁱ) (dt/dx^j) g^ij(x) = g^tt = 1

Но это и есть заявленное ранее уравнение на t(x), а система отсчёта с g^tt = 1 и есть система глобального времени.

Теория глобального времени

Теперь настало время вспомнить “роковую” описку во IIтоме Л.Л.:

Действие S_g, как и действие для электромагнитного поля, должно быть выражено в виде некоторого скалярного интеграла ..., взятого по всему пространству и по временной координате x⁰ между двумя заданными ее значениями.

x⁰, конечно, брать смысла не имеет (зависит от выбора системы отсчёта), а вот введённую выше функцию t(x⁰, x¹, x², x³) являющуюся решением уравнения Гамильтона-Якоби – в самый раз. Итого:

Действие S_g должно быть выражено в виде некоторого скалярного интеграла, взятого по всему пространству заключенному между двумя гиперповерхностями  t(x⁰, x¹, x², x³) = t_inи t(x⁰, x¹, x², x³) = t_out.

Очевидно, что так определённое действие осталось общековариантным по отношению к произвольным преобразованиям координат: x⁰, x¹, x², x³. Из этого действия получается немного иная теория тяготения чем ОТО. Полевых уравнений в ней не 10, а 9. В этой теории тяготения гамильтониан Hгравитационного поля нулю не равен. Эта теория динамическая – с обычной задачей Коши: задаёте любые начальные данные и смотрите на эволюцию в глобальном времени. Предсказание таких экспериментально проверенных фактов как вращение перигелия Меркурия и отклонение световых лучей массивным телом в этой теории абсолютно совпадают с аналогичными в ОТО. Грубо говоря, отличие этой теории тяготения от ОТО всего на 10% (это я по числу уравнений 9 vs 10 ;-) заявляю) и проявляется в основном в космологических решениях и в квантовой области. Кстати, проблема геодезической полноты в этой теории отсутствует как класс, ведь в ней g^tt можно выбрать равным 1 всегда и везде. Этой теории было дано название ТГВ – Теория Глобального Времени. С точки зрения Гамильтонового формализма, решения ОТО являются подмножеством решений ТГВ с плотностью гамильтониана H = 0 всюду равной нулю. В этом смысле ТГВ обобщает ОТО поглощая её.

Придумал ТГВ Дмитрий Евгеньевич Бурланков. Правда, те выкладки, которые я тут привёл про действие, он вообще не использовал. Он пришел к этой теории с другой стороны, с физической.

Есть книга:

Д. Е. Бурланков “Динамика пространства” Монография. – Н.Новгород: издательство ННГУ им. Н.И. Лобачевского 2005. – 179 с.

Там всё подробно описано…

Бурланков Дмитрий Евгеньевич: http://phys.unn.ru/staff_public.asp?contenttype=Staff&id=185

Динамика пространства. Монография 2005г. 179 стр.