Некоторое время тому как тут обсуждалась сила тяготения у вращающегося тела. Вопрос был в том, чтобы посмотреть, какие отклонения ОТО дает в сравнении с теорией Ньютона, хотя бы качественно: вращение увеличивает силу тяготения или наоборот? И, желательно, на уровне для средней школы… Расчеты громоздкие, времени нет… но в командировке, долгими северными белыми ночами я таки занялся расчетами. Вот что посчитал.
Рассмотрены три случая:
Вращение по стационарной круговой орбите в плоскости экватора
Падение вдоль оси вращения
Падение по радиусу в плоскости экватора.
Схема расчета: уравнение геодезической выражено в асимптотически плоских координатах, далее рассчитываются ускорения (вторые производные по t) для метрики Керра. Конечные формулы приведены на картинке. a = I/M - удельный момент вращения центрального тела. Система единиц: c = 1, G = 1. Приближенные формулы для a/r << 1 и M/r << 1. Мои комментарии
1. Вращение по стационарной круговой орбите в плоскости экватора
Здесь я, собственно, не считал "силу тяготения", я не очень понимаю, что под ней следует подразумевать, я посчитал период вращения для тела, что, кажется, интереснее. Явно виден эффект "сноса" спутника в направлении вращения центрального тела. При вращении "по" частота вращения спутника возрастает за счет вращения центрального тела, если "против" – уменьшается. Второй, кажется, закон Кеплера тоже явно просматривается – уже с поправкой на вращение поля (геометрии).
2. Падение вдоль оси вращения
В обоих случаях падения в ускорении по r есть член пропорциональный квадрату скорости. Надо полагать, он как раз и должен привести к тем "продольным" и "поперечным" массам, которые так любят обсуждать. Во всяком случае, за счет вращения "сила тяготения" на оси уменьшается.
3. Падение по радиусу в плоскости экватора.
Тут член пропорциональный квадрату скорости мне не удалось привести в сколь бы то ни было удобоваримый вид, оставил его выраженным через g(штрих означает производную по r). Кому интересно поупражняться – займитесь ))
Из эффектов: сила тяготения на экваторе за счет вращения возрастает. Плюс так же явно виден снос в сторону вращения. Но что интересно, при движении к центру снос происходит в сторону вращения, а при движении от центра – в обратную сторону.
P.S. Ежели кто, воспользовавшись этими расчетами, опоздает на самолет из-за возможных ошибок - претензии не принимаются :-)
