Я с таким не сталкивался наверное потому, что не пытался применить метод перевала тогда, когда он не работает. Но придумать пример не сложно.
Возмем статинтеграл для классической частицы в ящике с почти везде постоянным потенциалом и небольшой "ямкой" глубиной много меньше температуры. Можно попытаться его вычислить методом перевала (точнее здесь Лапласа, но это частный случай перевала). Ясно, что приближение будет плохое, лучше экспоненту в ряд разложить.