2.Почему мы так плохо понимаем Эйнштейна. Задача Литлвуда.
Еще раз приношу свои извинения за созданные мною неудобства в работе. Это восстановленная запись.
26.07.2006 14:26 #
Почему мы так плохо понимаем Эйнштейна? Задача Литлвуда.
Автор: Александр Юрьевич (voix)
> Ответ: ни одного
С чего бы это? На первом шаге у нас в ящике 9 шаров, на втором 18, на энном – 9n.
Число шагов бесконечно, значит и число шаров в ящике будет бесконечным.
А мы его хорошо понимаем! И Литлвуда тоже.
Автор: Игорь Шутяев (sh18)
Такие задачки решают, когда увлекаются Гарднером. По-моему, даже, она там есть, в одной из книг, но точно уже не помню. То есть, класс девятый – десятый … теперь одиннадцатый. Потом уже сложностей никаких, хотя писать для объяснений придется много. Ладно, я потрачу это время…
Отвечаю:
Ни одного. Какой шар останется? n-ный шар будет вынут на n-ной операции.
..?
А можно по другому. Давайте договоримся, каждую десятую операцию вынимания пропускать. Тогда мы получим… тогда мы получим две бесконечные кучи: вынутых и не вынутых. Причем, одна из них в 9 раз больше другой! )) А ведь была сначала только одна куча… А еще можно написать попроще:
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 …
и задаться вопросом: чему равна сумма? Вам сколько надо? Я столько и получу…
Еще хотите? Можно Зенона, про Ахиллеса и черепаху. Но это в определенном смысле проще – потом напишу. А можно наоборот, сложнее: бесконечная рекурсия. Пусть у вас есть некая система понятий, описывающих что-нибудь. Множества, например )) А вот для рассуждений об этой системе понятий нужна другая система, более высокого, в определенном смысле, уровня. Мета-система. А для описания мета-системы? Мета-мета-система. И так далее. А все вообще мы можем описать?
Вообще, задачи для старшеклассников физмат-школ, и вот почему. Когда человек впервые знакомится с мощью формально-логических систем, он настолько проникается ими, что верит, что такими системами можно описать все. Нет, даже не верит. Верующий (в бога, например) может, хотя бы в принципе, задать себе вопрос – а вдруг неправда? Верующий в формальную логику такого вопроса задать себе не может – очевидно же, что чистая правда! Даже если ему в лоб написать фразу:
"Это утверждение ложно"
Он скажет: "Да, забавно… Парадокс!" Но верить во всесилие формальной логики не перестанет. Остановитесь, посмотрите. Фраза же написана! Она существует! Если логика абсолютна, то фраза невозможна, нет?
Как-то обычно, с возрастом, человек понимает, как решать такие парадоксы. Ну, те, кто о них вообще думает. Элементарно. Надо выйти из плоскости. Не барахтаться внутри вашей "логической системы", а посмотреть на нее снаружи.
С бесконечностями даже проще, просто в институте проходят. Что будет, если из одной бесконечности вычесть другую? Вот, теперь давайте с черепахой, сначала не вычтем, а сложим. Без деталей, сразу конечный результат: надо сложить (ну, примерно)
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
Складывается? Да, для нынешнего матанализа это не проблема, конечно, складывается, единица будет. Догонит Ахиллес черепаху. Зенон не знал матанализа, не изобрели еще. Нам тут интересно следующее: если возьмем подпоследовательности – любые варианты частных сумм – они тоже будут сходиться к той же единице. Критерий не-помню-кого. Теперь возьмем ряд "плюс-минус раз" и такие его частные суммы:
1-1
1-1+1-1
1-1+1-1+1-1
…
К чему сойдется? Конечно, к 0, каждый же член 0! А такие частные суммы:
1-1+1
1-1+1-1+1
1-1+1-1+1-1+1
…
А это к 1. А если еще переставлять, то я получу, что хотите. Теперь возьмем тот начальный ряд, когда на 10 добавленных один вынимается ("время", когда это делается, не важно )):
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1–1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1–1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1–1+…
Здесь бесконечное число +1 и бесконечное же (!) число –1. Одинаковой мощности - счетные. Перегруппировывая члены в этом ряду, я могу получить частные суммы, которые равны любому (!) числу. Можно сначала перегруппировкой свести его к ряду "плюс-минус раз". А с точки зрения матанализа достаточно двух подпоследовательностей, которые стремятся к разным значениям, чтобы сказать: предела последовательности нет! Вот и ответ – наиболее полный из возможных. Из другой плоскости. Это действительно "парадокс для десятиклассников", анализ в таком объеме проходят уже на первом курсе. Кажется… Слова про шары или "множества" ничего не меняют, правда, "множества" добавляют научности )) Тупо-прямолинейная логика тут не работает, а тупо-прямолинейно расширить ее так, чтобы корректно работать с бесконечностями в подобной задаче, никому не удалось. Но кое-что все-таки сделано: бесконечные множества не вычитают, но сравнивают. Есть понятие "мощности", правда, этих мощностей всего три… И в континуальных множествах еще больше "парадоксов": точек на отрезке (0,1) столько же, сколько на всей вещественной прямой! И даже столько же, сколько в квадрате 1х1 – вообще с ума сойти. И сколько в кубе 1х1х1. И сколько в … Тут, если начать эти точки "складывать в мешок" и "вынимать", можно столько парадоксов настроить, ууу… (вот только "времени" тогда не хватит – множество событий будет тоже континуальное, время не сложится, как с Ахиллом )))
К той автореферентной фразе. Более эффектный вариант: карточка, на одной стороне которой написано "Утверждение на обратной стороне этой карточки истинно", а на другой – "Утверждение на обратной стороне этой карточки ложно", тоже из Гарднера. Цикл может быть и длиннее, главное, чтобы он замкнулся в бесконечную противоречивую рекурсию. Что с этим делать? Парадо-окс… Кстати, собственно, это как раз пример действия теоремы Гёделя: формальная система либо неполна, либо противоречива – именно за счет рекурсивных высказываний. Представляете, логика не всемогуща! Позор! Пожар! Украли!!! Только вот ничего страшного в этом нет – мир не устроен по законам формальных систем… Мы лишь используем их для описания мира, но кое-где это не работает. Например, мир допускает существование той фразы (или карточки), хотя логика и не допускает. Ну и что? Будьте немного осторожнее при использовании логики и все. В подавляющем большинстве практически важных моментов вам это не помешает.
Я уже написал все это, когда послал ссылку на вопрос своей знакомой. Она ответила просто: Останется в зависимости от того, сколько успеешь туда сунуть к полудню. Я сказал – бесконечно много положим и бесконечно много вытащим. Ответ: в реальной жизни – нет! Я про ряды… "ну, я тем более не знаю ничего про ряды, я только знаю, что как бы вы не старались в жизни доказать, что шаров нет, у вас их будет куча валяться в ящике к полудню...)))" Как видите, человек, хорошо вооруженный нормальной житейской логикой, щелкает ваши проблемы из формальной логики как семечки! )))
Можно, конечно, отмахнуться. Но ведь она права… )
О парадоксах
Автор: Александр Юрьевич (voix)
> Вот, теперь давайте с черепахой, сначала не вычтем, а сложим. Без деталей, сразу конечный результат: надо сложить (ну, примерно)
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
Складывается? Да, для нынешнего матанализа это не проблема, конечно, складывается, единица будет. Догонит Ахиллес черепаху. Зенон не знал матанализа, не изобрели еще
Сильно сомневаюсь, что Зенон не знал о конечности суммы этого бесконечного ряда :).
Решение этого парадокса не только в конечности суммы ряда, но и в том, что складываются отрезки времени.
И как-то вы все в кучу смешали. К чему столько внимания рекурсивности?
Рекурсивность – частный случай противоречивой системы утверждений.
Например, в том же парадоксе брадобрея, придумали систему правил, которая делит множество мужчин на два непересекающихся подмножества:
- тех, кто бреется сам
- тех, кто бреется у брадобрея
Разумеется, эти правила приводят к противоречию, если их применить к брадобрею - мужчине, который по определению принадлежит сразу к двум этим подмножествам.
Зачем называть это парадоксом? Это просто противоречивая система правил.
О парадоксах
Автор: Игорь Шутяев (sh18)
Я и не считаю это парадоксами, неужели это не очевидно? Вы были на сайте у Юрия Бойко? Это все оттуда, брадобрей у него тоже, кажется, есть )
Для Зенона время наверняка было непрерывным, и тогда оно прекрасно делится и прекрасно складывается. Возможно, Зенон догадывался, что ряд суммируется, но вот знать он этого не мог. Эту математику развили только через два тысячелетия - почему, если Зенон уже все знал?
О парадоксах
Автор: Александр Юрьевич (voix)
> Возможно, Зенон догадывался, что ряд суммируется, но вот знать он этого не мог. Эту математику развили только через два тысячелетия - почему, если Зенон уже все знал?
А что там знать? Разделите единичный квадрат пополам, возьмите себе одну половинку. Вторую половинку опять разделите пополам, возьмите и ее половинку и т.д.
Понятно, что вы никогда из своих половинок целый единичный квадрат не сложите и уж тем более, не получите квадрат со стороной большей единицы :)
О парадоксах
Автор: Игорь Шутяев (sh18)
В матанализе это занимает от трети до половины семестра, я думаю. Вот дураки-то... )
О парадоксах
Автор: Игорь Шутяев (sh18)
> А что там знать? Разделите единичный квадрат пополам, возьмите себе одну половинку. Вторую половинку опять разделите пополам, возьмите и ее половинку и т.д.
Понятно, что вы никогда из своих половинок целый единичный квадрат не сложите и уж тем более, не получите квадрат со стороной большей единицы :)
Я отшутился несколько (хотя это и не шутка!), но подумал, что, наверное, стоит разобрать детали. Люди с неимоверным упорством наступают на одни и те же грабли, даже когда о них предупреждают. Вот смотрите: "Понятно, что вы никогда…" То есть, очевидно! То есть настолько очевидно, что и что уж тут думать!!! То есть, … и так далее.
Но формальные системы не работают везде! Они дают сбои. И одно из мест, где они дают сбои, это работа с бесконечностями и рекурсиями. Тут надо очень осторожно, тут, на самом деле, ничто не понятно так уж запросто. Именно это я пытался показать в том развернутом ответе Юрию. Но, видимо, надо еще. Я думаю, все, что мне понадобится, я найду в Википедии, сейчас… Да, точно. Тогда продолжу )
Давайте посмотрим внимательнее.
"Разделите единичный квадрат пополам, возьмите себе одну половинку. Вторую половинку опять разделите пополам, возьмите и ее половинку и т.д."
Это что? Алгоритм. Тут был еще один алгоритм, я его тоже повторю.
"За одну минуту до полудня кладутся числа от 1 до 10, и число 1 вынимается обратно. За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т. д."
Все ведь просто, да? Очевидно, что, пройдя указанную процедуру, вы в конце получите то, что надо. Алгоритм! Алгоритм… Что не так? Разве что-то может быть не так?
Вот что не так: это не алгоритм. Вот зачем я лазил в Википедию:
Формальные признаки алгоритмов
Различные определения алгоритма в явной или неявной форме содержат следующий ряд общих требований:
• детерминированность – определённость. В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы. Таким образом, алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных. В современной трактовке у разных реализаций одного и того же алгоритма должен быть изоморфный граф. С другой стороны, существуют вероятностные алгоритмы, в которых следующий шаг работы зависит от текущего состояния системы и генерируемого случайного числа.
• понятность – алгоритм для исполнителя должен включать только те команды, которые ему (исполнителю) доступны, которые входят в его систему команд.
• завершаемость (конечность) – при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов. С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.
Важную роль играют рекурсивные алгоритмы (алгоритмы, вызывающие сами себя до тех пор, пока не будет достигнуто некоторое условие возвращения). В последнее время активно разрабатываются параллельные алгоритмы, предназначенные для вычислительных машин, способных выполнять несколько операций одновременно.
Третье свойство алгоритма. Приведенные выше "алгоритмы" с вероятностью 1 никогда не выдадут результат. Строгой математической теории, как общаться с такими объектами, нет (нестрогой тоже )). А что есть? Есть "очевидно, что…". Или "понятно, что вы никогда…". То есть, вы пользуетесь всем этим не на законных (математических, в данном случае) основаниях, а просто так, "от балды". Что дадут описанные процедуры в конце (которого нет!), никто не знает. Точнее, мы сейчас знаем, что будет, если "складывать половинки", но совсем из другого места. Из теории рядов. На развитие которой понадобилось два тысячелетия. Из этой же теории мы знаем, что второй ряд суммы не имеет. И это все мы знаем из строгих математических выводов, в которых не используется "очевидно, что".
Я не поленился сделать еще одно – узнать "цену вопроса". Вообще, цену вопроса всегда знать полезно, тогда вы понимаете, за что боретесь – или против чего. Так вот, в программе курса матанализа первого семестра физтеха то, что имеет отношение к теории последовательностей и теории рядов занимает 5 пунктов (из 21). Вместе с функциональными рядами – 8 пунктов. То есть, лекций 6 – 10. В учебнике матанализа Кудрявцева (1 том) это занимает примерно 80 страниц (последовательности) и еще 130 (ряды) – из примерно семисот, остальное функции одной переменной. Я все это знаю, точнее, уже забыл, конечно, но того, что помню, достаточно. Вы и Юрий Бойко – нет.
В последней своей заметке Юрий Бойко пытается представить то, что он называет "проблемой Зенона" (фактически, суммирование некоторых рядов, в частности, вышеприведенную процедуру) как землю непознанную – "область Геделя", так сказать. То, что недостижимо, если начать с существующих сейчас основ математики. Но оно достижимо – 210 страниц Кудрявцева и вы там!
Но дальше… Дальше идут рассуждения, что гению Кудрявцев не нужен. Он и так все знает, идет напролом, и это правильно. Я понимаю, что Юрий не примет моих объяснений – один красиво оформленный сайт чего стоит! А вместо признания себя гением признать себя просто неграмотным в области, которой вроде как занимаешься?
Я, видимо, не гений. Я мазохист )) Мне бывает довольно интересно вдруг обнаружить, что область, которую ты считал простой и очевидной, совсем не такова. Вот так, жил себе спокойненько, считал "очевидно, что" – а оно… Да, конечно, здесь все не так просто, "сломаться" все-таки надо. Но за это дают большой пряник: новые знания ))
Я агитирую за мазохистов. Или вы в гении? ))
О парадоксах
Автор: Александр Юрьевич (voix)
> Точнее, мы сейчас знаем, что будет, если "складывать половинки", но совсем из другого места. Из теории рядов
Для данного конкретного ряда (обратных степеней двойки) достаточно геометрических соображений. Зенону не было нужды решать общую задачу сходимости рядов.
Только это я и хотел сказать :)
О парадоксах
Автор: Александр Юрьевич (voix)
Любопытно, что из парадокса Ахиллеса и черепахи следует конечность суммы любого ряда вида 1/ki, для 1<k<2.
Безо всяких там теорий рядов. Исключительно из факта, что Ахиллес все-таки догоняет черепаху :).
предыдущая
e-mail: 
