Я хочу привести Вам два примера из истории проблем с бесконечностями. Цитирую книгу Литлвуда "Математическая смесь", главу, в которой он пытается разобраться с большими числами:
"Древние индийские рукописи много раз с благоговением обращаются к идее представления колоссальных отрезков времени. (Мне кажется, что следующий пример я взял из книги Бокля История цивилизации в Англии; несомненно, что сам я не мог этого выдумать.)
Имеется камень размером с кубическую милю, в миллион раз тверже алмаза. Один раз в миллион лет святой муж подходит к этому камню и слегка дотрагивается до него. В конце концов, в результате этих легчайших прикосновений камень износится. Вычисления показывают, что это произойдет через 10 в 35 степени лет: жалкий результат, учитывая столь богатую фантазию". Конец цитаты.
Если вы сравните полученный результат с возрастом вселенной – 15-20 миллиардов лет, то результат не так уж и плох. Но Литлвуд - математик, а в математическом «экстазе» этот результат действительно жалок! Сравним хотя бы с аппетитами охотников за простыми числами, (проблема, о которой я Вам еще расскажу) - нужно найти число, содержащее не менее 100 млн. знаков! 10 в более чем миллионной степени! Но для математика – это тоже пустяк.
Вторую цитату я Вам предложу из книги У.Бола и Г. Коксетера «Математические Эссе и развлечения». В книге описывается игрушка, напоминающая нашу «горку» из цветных колец различного диаметра (7 дисков), которые надеты на палочку. Диски нужно снять по определенным правилам. Вот что они пишут о происхождении этой задачи:
"В свое время де Парвиль привел столь занятное объяснение происхождения этой игрушки, что его стоит здесь повторить. Он рассказывает, что в большом храме города Бенареса под куполом, накрывающем «центр вселенной», лежит медная плита, в которую вделаны три алмазные иглы длиной в локоть и толщиной с осиную талию. На одну из этих игл бог при сотворении мира надел шестьдесят четыре диска из чистого золота – самый большой из них лежит в самом низу на медной плите, и каждый диск, лежащий выше, меньше предыдущего. Это «Башня Брамы». День и ночь священнослужители неустанно переносят диски с одной иглы на другую, руководствуясь навеки установленными и непреложными законами Брамы, по которым священнослужитель не должен за раз двигать более одного диска, и всегда должен так переносить этот диск на иглу, чтобы под ним не оказалось диска меньше его. Когда же, наконец, все 64 диска будут таким образом перенесены с той иглы, на которую бог поместил их при сотворении мира, на одну из двух других, то и башня, и храм, и сами брамины обратятся в прах – грянет гром, и мир исчезнет." (Конец цитаты).
У этой игрушки алгоритм переноса колец отличается от алгоритма первого примера: он рекурсивный. Поэтому и "шагов" (переносов дисков) в нем намного больше.
Но давайте начнем «от печки», с того времени, когда нас учили считать.
Прежде всего, нас выучили выделять и «обзывать» отдельные предметы. Дальше нас выучили объединять их вместе и «обзывать» их объединение, обычно добавляя специальные множественные окончания. При этом у нас сложилась особая модель – количественная индуктивная модель. В этой модели мы создаем понятие единицы, алгоритм прибавления единицы и понятие числа. Числа я изображу такими строчками:
1 (это число 1),
11 (это число два)
………………
111111111 (это число десять)
Я построил числа из единиц, но можно приписать впереди нули, чтобы сделать строчки бесконечными.
Процесс прибавления 1 называют индукцией. (Иногда конкретно – индукцией по 1). Полученный ряд (у меня столбец), в свою очередь, называют «ряд целых натуральных чисел». При таком изображении чисел в виде длинного бесконечного ряда их количество называют счетным. В рамках индуктивной модели можно строить ряд не только из единиц, но и из десятков, из сотен, из точек, различных элементов, и различных предметов. Математики эти методы называют аддитивный и мультипликативный, соответственно (Здесь я несколько грубо упростил понятие "мультипликативный", но не придирайтесь – это можно уточнить). А в арифметике мы на основании этого свойства проводили операции сложения и умножения. Далее, индуктивная модель позволяет нам построить то, что мы называем «системой координат». Для этого необходимо построить методом индукции такой же ряд, но из других знаков, пересекающейся с первым рядом в нулевой точке. Это точечные модели, но точность их мы можем всегда увеличить до точности необходимой нам. Как говорят математики: «сделать точность больше любой наперед заданной величины».
Но когда мы учились считать, мы создали и другую модель – систему счета. Мы по умолчанию пользуемся десятичной системой счета, но я возьму более простую - двухзначную, или двоичную систему. В этой модели числа представляются не одним знаком (единицей), а двумя, (например, 1 и 0), и очень важен их порядок. Я ее приведу в таком виде:
0 (это число 0)
1 (это число 1)
10 (это число 2)
11 (это число 3)
100 (это число 4)
101 (это число 5)
……………….
1010 (это число 10)

Эту модель я называю кардинальной моделью. Чем она отличается от счетной модели? Прежде всего, в кардинальной модели, для одного и того же числа, строчки стали намного короче, и поэтому чисел можно изобразить кардинально больше, и, наконец, они могут нести дополнительную информацию об объекте, для которого строится эта модель. Поэтому кардинальную модель можно назвать еще и качественной моделью. Далее, кардинальная модель не может быть сведена к индуктивной модели, потому, что строчек (чисел) в ней кардинально больше, чем в индуктивной модели. Нельзя ее представить и в аддитивной или мультипликативной форме – у нее мощность больше. Другими словами, если мы рассмотрим все строчки (числа) этой модели, то получим некое многообразие – кардинал, которое отличается от пространства любой размерности. Он не вписывается ни в одно пространство.
Кардинал и пространство отличаются по своей модели, по структуре и по мощности.
Когда мы учимся в школе, нас учат строить модели интуитивно, и поэтому мы, как правило, не различаем счетную и кардинальную модели. Кроме того, в той области, в которой нам приходится сталкиваться с целыми числами, все наши расчеты, как правило, не превышают миллиардов (9-11 знаков). А в этом случае модели пересекаются.
Чтобы кардинал был полным, нам необходимо добавить еще одну часть: если представить кардинал в виде графа, то все точки, кроме первой имеют по три ребра. Поэтому добавим еще одну ветвь, построенную по тому же принципу. Теперь все точки кардинала стали равноценными.
У Вас может сложиться впечатление, что я что-то выдумываю. Но это не так. Это основы теории множеств, и различие в мощности кардинальной и счетной модели доказано Кантором около ста лет тому назад. Кроме того, если Вы внимательно присмотритесь к конструкции кардинала, то увидите, что она напоминает виртуальный мир компьютера. Действительно, если выделить в кардинале индуктивное счетное бесконечное множество, (например, состоящее из единиц) назвать его матрицей, а остальную часть представить, как двузначную производную от этой матрицы (1,0 – биты), то это и будет модель виртуального мира. А этот мир, непредставим ни в каком трехмерном или четырехмерном (в последней "суперструнной" теории речь идет о 8-мерном) пространстве. Другими словами (основная гипотеза Томи):
На протяжении многих лет нас убеждают, что вселенная существует в виде материальных объектов в трехмерном пространстве и в одномерном времени. Теория относительности и квантовая механика в эту модель не вписываются, приходится строить дополнительные конструкции. Но у нас есть готовая модель для физики – это кардинал, и нам нужно только перестроить (перемоделировать) свое мировоззрение, чтобы все стало на свои места.
Это утверждение нуждается в пояснении. А именно: прежде всего, нужно уточнить, что мы называем "физикой"? С чего она у нас начинается? Например, химия у нас начинается с того момента, когда есть химические элементы, из которых мы строим молекулы. Но мы можем отнести к химии и строение атомов, и строение связей в молекулах, и целый ряд физико-химических процессов. Точно так же и к физике мы можем отнести целый ряд физико-математических и "физико-логических" проблем. Эти проблемы можно обозначит, скажем, как "надфизику", или "метафизику", а истинная физика начинается только тогда, когда у нас есть время и пространство. Другими словами, введя в наши представления понятия "время" и "пространство", мы получаем некую модель, которую мы величаем "физика". А до этого у нас не физика, а метафизика. В этом случае, предлагаемый мною кардинал может и не иметь для физики абсолютного значения, и физику можно рассматривать как набор неких "индуктивных" параметров. Например, так как это делается в первой цитате из книги Литлвуда. Если же мы предполагаем, что природа (как и наш разум) обладает неким свойством, которое мы в математике называем рекурсивность, а в биологии самовоспроизведение, и которое в физике можно назвать "саморазвитие", то в этом случае для его описания нам просто необходим кардинал.