Предыдущие записи:
Гравитация - 1. Классический Ньютон.
Гравитация - 2. Почему гравитация воздействует на свет?
Гравитация - 3. Почему притягиваться должна "энергия", а не масса?
Гравитация - 4. Пост*-ньютоновская теория.
Гравитация - 5. Притяжение "энергии" в пост*-Ньютоне.
Гравитация - 6. Красное гравитационное смещение.
Гравитация - 7. ОТО из пост*-Ньютона.
Гравитация - 8. Притяжение черных дыр.
Гравитация - 9. Падение частицы на черную дыру.
Гравитация - 10. Пост-ньютоновская теория без гравитационного радиуса.
Гравитация - 11. Новая форма закона сохранения энергии.
1. Притяжение "энергии" в классическом Ньютоне
Смотрим внимательно :)
Возьмем обычное уравнение сохранения энергии классического Ньютона, когда частица, которая изначально находится в состоянии покоя, падает из бесконечности до радиуса R:
})
Перепишем это уравнение с использованием выражения для гравитационного радиуса
наивной пост*-ньютоновской теории:
где
и найдем отсюда выражение для энергии:
=mc^2\left(\frac{R+R_{g*}}{R}\right))
Пока ничего необычного :)
Теперь преобразуем полученное уравнение следующим образом:
)
раскроем скобки и в числителе подставим обратно выражение для гравитационного радиуса наивного пост*-Ньютона:
})
Все!
В результате несложных преобразований из уравнения сохранения энергии классического Ньютона мы получили уравнение сохранения энергии наивной пост*-ньютоновской теории, где вместо массы частицы - ее "энергия"!
С единственным отличием: к радиусу в знаменателе добавляется константа, равная пост*-ньютоновскому гравитационному радиусу.
Так что, можно сказать, что наивная пост*-ньютоновская теория является предельным случаем классического Ньютона. Именно так, а не наоборот!
В случае слабых гравитационных полей, когда
, классический Ньютон переходит в наивную пост*-ньютоновскую теорию. Т.е. в слабых полях, например, в гравитационном поле Земли, в классическом Ньютоне притягивается "энергия", а не масса. А значит, в классической ньютоновской теории, на самом деле, нет парадокса нелегального переноса энергии. В чем мы скоро убедимся.
Важно, что в отличие от наивной пост*-ньютоновской теории, в неоклассическом Ньютоне нет гравитационного радиуса (горизонта событий)! Правда, при радиусе, стремящемся к нулю, частица в неоклассическом Ньютоне приобретает бесконечную энергию. Но точно так же обстоит дело и в классической ньютоновской гравитации.
А поскольку в классическом и неоклассическом Ньютоне уравнения падения частицы, которая изначально на бесконечности находилась в состоянии покоя, эквивалентны, то гравитационное красное смещение в неоклассическом Ньютоне точно такое же, как и в классической ньютоновской гравитации. В
таблице это столбец 'Zcn':
2. Парадокс нелегального переноса энергии и неоклассический Ньютон
Все верно, парадокса нет именно в неоклассическом Ньютоне :)
Для того, чтобы избавиться от парадокса нелегального переноса энергии в классическом Ньютоне, где,
как мы убедились, он имеется, классический Ньютон следует немного скорректировать.
Чтобы рассмотреть парадокс, уравнение подъема на бесконечность частицы, начальная энергия которой
, у нас уже есть. Оно такое же, как и уравнение падения частицы из бесконечности (12.2):
Выше мы выяснили, что это уравнение эквивалентно уравнению сохранения энергии классического Ньютона в привычном виде (12.1):
А вот уравнение подъема частицы с высоты R1 на высоту R2, до полной остановки, в неоклассическом Ньютоне будет выглядеть следующим образом:
Или в
новой форме закона сохранения энергии (с потенциальным коэффициентом):
}\right)=E_{c*}\left(1-\frac{GM}{c^2(R_1+R_{g*})}\right))
и окончательно, через гравитационный радиус пост*-Ньютона:
=E_{c*}\left(1-\frac{R_{g*}}{R_1+R_{g*}}\right)}\eqno {(12.3)})
Здесь индекс
у энергии говорит о том, что она относится к неоклассической ньютоновской гравитации.
Теперь разберемся, собственно, с парадоксом.
Итак, на высоте R1 из двух одинаковых квантов появляются электрон и протон. Т.к. у квантов одна и та же энергия, то такая же начальная энергия будет у электрона с протоном.
Для того, чтобы не было парадокса нелегального переноса энергии, при подъеме на одну и ту же высоту электрон и протон должны терять одну и ту же энергию. Следовательно, на высоте R2, где протон остановится, у электрона должна оставаться энергия покоя протона
Будем считать, что электрону начальной энергии E достаточно для того, чтобы с высоты R1 он поднялся на бесконечность. Как в классическом, так и в неоклассическом Ньютоне эта энергия определяется формулой
=m_ec^2\eqno {(12.4)})
которая получается из формулы (12.2).
Подъем протона заканчивается на высоте R2 в соответствии с уравнением (12.3):
=E\;\left(1-\frac{R_{g*}}{R_1+R_{g*}}\right)\eqno {(12.5)})
Нам нужно найти энергию E2, которая окажется у электрона на высоте R2, где протон остановился. Она должна оказаться равной энергии покоя протона. Тогда парадокса не будет.
Т.к. электрону нужно подняться с R2 на бесконечность, то энергия E2 у него определяется уравнением:
=m_ec^2\eqno {(12.6)})
Обратим внимание, что левая часть уравнения (12.4) такая же, как и правая часть уравнения (12.5). Это позволяет записать (12.5) как:
=m_ec^2\eqno {(12.7)})
Теперь достаточно сравнить уравнения (12.6) и (12.7) для того, чтобы найти значение E2:
Т.е. энергия электрона на высоте, где протон остановился, равна энергии покоя протона и, следовательно, парадокса нелегального переноса энергии в неоклассическом Ньютоне нет!
3. И снова пост*-Ньютон из классического Ньютона :)
Еще один способ получения пост*-ньютоновского притяжения "энергии" из классического Ньютона. Правда, далеко не столь эффектный :)
Но сначала, для школьной программы, из закона всемирного тяготения Ньютона получим уравнение сохранения энергии классической ньютоновской гравитации.
Записываем хорошо знакомую формулу закона тяготения Ньютона:
})
Импульс представляем в релятивистском виде:
^{1/2}})
Продифференцируем импульс
^{1/2}}+\frac{mcv^2}{(c^2-v^2)^{3/2}}\right )\frac{dv}{dt})
и вместе с приращением времени из определения скорости
подставим в формулу закона тяготения Ньютона (12.8). Затем, после разделения переменных, проинтегрируем полученное выражение:
^{1/2}}+\frac{mcv^3}{(c^2-v^2)^{3/2}}\right )\;dv=\int -\frac{GMm}{R^2}\;dr)
Для этого используем два табличных интеграла:
^{1/2}}dv=-(c^2-v^2)^{1/2})
^{3/2}}dv=(c^2-v^2)^{1/2}+ \frac{c^2}{(c^2-v^2)^{1/2}})
В результате интегрирования получим следующее выражение:
^{1/2}}+Const=\frac{GMm}{R})
или
Константу определим из граничного условия - при
равном бесконечности скорость частицы
равна нулю:
, откуда
В конечном итоге, как и предполагалось, мы вышли на уравнение сохранения энергии классической ньютоновской гравитации для частицы, которая падает из бесконечности с нулевой начальной скоростью:
или
Понятно, что тот же самый результат получится, если взять тангенциальную составляющую скорости изменения импульса - для случая, когда направление силы и скорости совпадают:
^{3/2}}\frac{dv}{dt})
А теперь посмотрим, что будет, если в закон всемирного тяготения Ньютона (12.8) подставить нормальную составляющую скорости изменения импульса - для случая, когда направление силы и скорости перпендикулярны:
^{1/2}}\frac{dv}{dt})
После подстановок и разделения переменных проинтегрируем полученное выражение:
^{1/2}}\;dv=\int -\frac{GMm}{R^2}\;dr)
Для этого используем уже известный нам табличный интеграл:
В результате интегрирования получим следующее выражение:
^{1/2}+Const=\frac{GMm}{R})
или
Значение константы определяем из граничного условия - при
равном бесконечности скорость частицы
равна нулю:
, откуда
В результате получаем следующее выражение:
Проведем над ним несколько преобразований:
=\frac{GMm}{R})
=\frac{GMm}{R})
И, наконец, выходим на знакомое уравнение сохранения энергии в наивной пост*-ньютоновской теории:
предыдущая
e-mail: 
