Подъем тела со второй космической скоростью

Сначала я напомню вывод формулы, позволяющей вычислить время подъема тела, брошенного вертикально вверх со второй космической скоростью.


Как известно, скорость это отношение приращения расстояния к промежутку времени . Откуда



Вторая космическая скорость тела (escape velocity) определяется выражением:



а значит



Таким образом, для нахождения времени подъема тела, брошенного со скоростью , с высоты на высоту , необходимо вычислить следующий интеграл:



Это несложно сделать и в результате получается искомая формула:



или



А с учетом выражения для гравитационного радиуса :



Если же объекты считать точечными, то при




Остается только вспомнить, что выражение для второй космической скорости легко находится из уравнения сохранения энергии:



С левой стороны потенциальная и кинетическая энергия тела на момент броска, с правой - когда тело окажется на бесконечности .


Падение тела из состояния покоя

Теперь разберемся со случаем, когда тело падает с нулевой начальной скоростью. Подход остается прежним.
Формулу для скорости находим из уравнения сохранения энергии:



где - высота, с которой падает тело.

Откуда скорость:



Таким образом, для нахождения времени падения нам нужно вычислить следующий интеграл:



Здесь мы также считаем объекты точечными.

Разобраться с этим неподъемным интегралом нам поможет калькулятор интегралов замечательного сайта Империя чисел.
Функцию интегрирования в калькулятор я ввел в следующем виде ((x*a)/(a-x))^(1/2). В результате получилось достаточно сложное выражение:



Однако, с нашими пределами интегрирования все значительно упрощается. Вторая часть данного выражения для обоих пределов равна нулю. А в первой части следует учесть, что арктангенс нуля равен (при ), а арктангенс бесконечности равен (при )
Таким образом,



или



Т.е. тело упадет с высоты за то же время, которое ему потребовалось бы для прохождения четверти дуги окружности радиуса со скоростью равной второй космической скорости.

Красивый результат!


А через гравитационный радиус данная формула будет выглядеть так:



Напоминает выражение, полученной ранее для случая подъема тела с начальной второй космической скоростью.


Сближение галактик

Теперь можно посчитать, например, сколько времени потребуется гравитационному притяжению галактик для того, чтобы столкнуть их друг с другом. Правда, для этого нам понадобится более общая формула - для двух тел разной массы. Я приведу ее без вывода, а кому интересно, как она получается, могут зайти посмотреть на Physics.StackExchange.com. Там несложно разобраться.

Итак, общая формула гравитационного сближения двух тел с разной массой:



Допустим, притяги ваются две галактики c массами масс Солнца (кг) и масс Солнца (кг) , между которыми миллиона световых лет (м) . Как в случае с нашим Млечным Путем и галактикой Туманность Андромеды.
Через какое время эти галактики столкнутся?

Расчет показывает, что это произойдет через 8.2 миллиарда лет.

На самом деле Млечный Путь и Туманность Андромеды столкнутся несколько раньше, т.к. у них уже есть какие-то начальные скорости. Но с другой стороны, массы нашей галактики и ее соседки постоянно пересматриваются, так что можно говорить лишь о порядке величины времени столкновения.